Как научиться решать тригонометрические уравнения. Тригонометрические уравнения
Тригонометрические уравнения - тема не самая простая. Уж больно они разнообразные.) Например, такие:
sin 2 x + cos3x = ctg5x
sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
И тому подобное...
Но у этих (и всех остальных) тригонометрических монстров есть два общих и обязательных признака. Первый - вы не поверите - в уравнениях присутствуют тригонометрические функции.) Второй: все выражения с иксом находятся внутри этих самых функций. И только там! Если икс появится где-нибудь снаружи, например, sin2x + 3x = 3, это уже будет уравнение смешанного типа. Такие уравнения требуют индивидуального подхода. Здесь мы их рассматривать не будем.
Злые уравнения в этом уроке мы тоже решать не будем.) Здесь мы будем разбираться с самыми простыми тригонометрическими уравнениями. Почему? Да потому, что решение любых тригонометрических уравнений состоит из двух этапов. На первом этапе злое уравнение путём самых различных преобразований сводится к простому. На втором - решается это самое простое уравнение. Иначе - никак.
Так что, если на втором этапе у вас проблемы - первый этап особого смысла не имеет.)
Как выглядят элементарные тригонометрические уравнения?
sinx = а
cosx = а
tgx = а
ctgx = а
Здесь а обозначает любое число. Любое.
Кстати, внутри функции может находиться не чистый икс, а какое-то выражение, типа:
cos(3x+π /3) = 1/2
и тому подобное. Это усложняет жизнь, но на методе решения тригонометрического уравнения никак не сказывается.
Как решать тригонометрические уравнения?
Тригонометрические уравнения можно решать двумя путями. Первый путь: с использованием логики и тригонометрического круга. Этот путь мы рассмотрим здесь. Второй путь - с использованием памяти и формул - рассмотрим в следующем уроке.
Первый путь понятен, надёжен, и его трудно забыть.) Он хорош для решения и тригонометрических уравнений, и неравенств, и всяких хитрых нестандартных примеров. Логика сильнее памяти!)
Решаем уравнения с помощью тригонометрического круга.
Включаем элементарную логику и умение пользоваться тригонометрическим кругом. Не умеете!? Однако... Трудно же вам в тригонометрии придётся...) Но не беда. Загляните в уроки "Тригонометрический круг...... Что это такое?" и "Отсчёт углов на тригонометрическом круге". Там всё просто. В отличие от учебников...)
Ах, вы в курсе!? И даже освоили "Практическую работу с тригонометрическим кругом" !? Примите поздравления. Эта тема будет вам близка и понятна.) Что особо радует, тригонометрическому кругу безразлично, какое уравнение вы решаете. Синус, косинус, тангенс, котангенс - ему всё едино. Принцип решения один.
Вот и берём любое элементарное тригонометрическое уравнение. Хотя бы это:
cosx = 0,5
Надо найти икс. Если говорить человеческим языком, нужно найти угол (икс), косинус которого равен 0,5.
Как мы ранее использовали круг? Мы рисовали на нём угол. В градусах или радианах. И сразу видели тригонометрические функции этого угла. Сейчас поступим наоборот. Нарисуем на круге косинус, равный 0,5 и сразу увидим угол. Останется только записать ответ.) Да-да!
Рисуем круг и отмечаем косинус, равный 0,5. На оси косинусов, разумеется. Вот так:
Теперь нарисуем угол, который даёт нам этот косинус. Наведите курсор мышки на рисунок (или коснитесь картинки на планшете), и увидите этот самый угол х.
Косинус какого угла равен 0,5?
х = π /3
cos60° = cos(π /3 ) = 0,5
Кое-кто скептически хмыкнет, да... Мол, стоило ли круг городить, когда и так всё ясно... Можно, конечно, хмыкать...) Но дело в том, что это - ошибочный ответ. Вернее, недостаточный. Знатоки круга понимают, что здесь ещё целая куча углов, которые тоже дают косинус, равный 0,5.
Если провернуть подвижную сторону ОА на полный оборот , точка А попадёт в исходное положение. С тем же косинусом, равным 0,5. Т.е. угол изменится на 360° или 2π радиан, а косинус - нет. Новый угол 60° + 360° = 420° тоже будет решением нашего уравнения, т.к.
Таких полных оборотов можно накрутить бесконечное множество... И все эти новые углы будут решениями нашего тригонометрического уравнения. И их все надо как-то записать в ответ. Все. Иначе решение не считается, да...)
Математика умеет это делать просто и элегантно. В одном кратком ответе записывать бесконечное множество решений. Вот как это выглядит для нашего уравнения:
х = π /3 + 2π n, n ∈ Z
Расшифрую. Всё-таки писать осмысленно приятнее, чем тупо рисовать какие-то загадочные буковки, правда?)
π /3 - это тот самый угол, который мы увидели на круге и определили по таблице косинусов.
2π - это один полный оборот в радианах.
n - это количество полных, т.е. целых оборотов. Понятно, что n может быть равно 0, ±1, ±2, ±3.... и так далее. Что и указано краткой записью:
n ∈ Z
n принадлежит (∈ ) множеству целых чисел (Z ). Кстати, вместо буквы n вполне могут употребляться буквы k, m, t и т.д.
Эта запись означает, что вы можете взять любое целое n . Хоть -3, хоть 0, хоть +55. Какое хотите. Если подставите это число в запись ответа, получите конкретный угол, который обязательно будет решением нашего сурового уравнения.)
Или, другими словами, х = π /3 - это единственный корень из бесконечного множества. Чтобы получить все остальные корни, достаточно к π /3 прибавить любое количество полных оборотов (n ) в радианах. Т.е. 2π n радиан.
Всё? Нет. Я специально удовольствие растягиваю. Чтобы запомнилось получше.) Мы получили только часть ответов к нашему уравнению. Эту первую часть решения я запишу вот как:
х 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
х 1 - не один корень, это целая серия корней, записанная в краткой форме.
Но есть ещё углы, которые тоже дают косинус, равный 0,5!
Вернёмся к нашей картинке, по которой записывали ответ. Вот она:
Наводим мышку на картинку и видим ещё один угол, который тоже даёт косинус 0,5. Как вы думаете, чему он равен? Треугольнички одинаковые... Да! Он равен углу х , только отложен в отрицательном направлении. Это угол -х. Но икс-то мы уже вычислили. π /3 или 60°. Стало быть, можно смело записать:
х 2 = - π /3
Ну и, разумеется, добавляем все углы, которые получаются через полные обороты:
х 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Вот теперь всё.) По тригонометрическому кругу мы увидели (кто понимает, конечно)) все углы, дающие косинус, равный 0,5. И записали эти углы в краткой математической форме. В ответе получились две бесконечные серии корней:
х 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
х 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Это правильный ответ.
Надеюсь, общий принцип решения тригонометрических уравнений с помощью круга понятен. Отмечаем на круге косинус (синус, тангенс, котангенс) из заданного уравнения, рисуем соответствующие ему углы и записываем ответ. Конечно, нужно сообразить, что за углы мы увидели на круге. Иногда это не так очевидно. Ну так я и говорил, что здесь логика требуется.)
Для примера разберём ещё одно тригонометрическое уравнение:
Прошу учесть, что число 0,5 - это не единственно возможное число в уравнениях!) Просто мне его писать удобнее, чем корни и дроби.
Работаем по общему принципу. Рисуем круг, отмечаем (на оси синусов, разумеется!) 0,5. Рисуем сразу все углы, соответствующие этому синусу. Получим вот такую картину:
Сначала разбираемся с углом х в первой четверти. Вспоминаем таблицу синусов и определяем величину этого угла. Дело нехитрое:
х = π /6
Вспоминаем про полные обороты и, с чистой совестью, записываем первую серию ответов:
х 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
Половина дела сделана. А вот теперь надо определить второй угол... Это похитрее, чем в косинусах, да... Но логика нас спасёт! Как определить второй угол через х? Да легко! Треугольнички на картинке одинаковые, и красный угол х равен углу х . Только отсчитан он от угла π в отрицательном направлении. Потому и красный.) А нам для ответа нужен угол, отсчитанный правильно, от положительной полуоси ОХ, т.е. от угла 0 градусов.
Наводим курсор на рисунок и всё видим. Первый угол я убрал, чтобы не усложнял картинку. Интересующий нас угол (нарисован зелёным) будет равен:
π - х
Икс мы знаем, это π /6 . Стало быть, второй угол будет:
π - π /6 = 5π /6
Снова вспоминаем про добавку полных оборотов и записываем вторую серию ответов:
х 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Вот и всё. Полноценный ответ состоит из двух серий корней:
х 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
х 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Уравнения с тангенсом и котангенсом можно легко решать по тому же общему принципу решения тригонометрических уравнений. Если, конечно, знаете, как нарисовать тангенс и котангенс на тригонометрическом круге.
В приведённых выше примерах я использовал табличное значение синуса и косинуса: 0,5. Т.е. одно из тех значений, которые ученик знать обязан. А теперь расширим наши возможности на все остальные значения. Решать, так решать!)
Итак, пусть нам надо решить вот такое тригонометрическое уравнение:
Такого значения косинуса в кратких таблицах нет. Хладнокровно игнорируем этот жуткий факт. Рисуем круг, отмечаем на оси косинусов 2/3 и рисуем соответствующие углы. Получаем вот такую картинку.
Разбираемся, для начала, с углом в первой четверти. Знать бы, чему равен икс, сразу бы ответ записали! Не знаем... Провал!? Спокойствие! Математика своих в беде не бросает! Она на этот случай придумала арккосинусы. Не в курсе? Зря. Выясните, Это много проще, чем вы думаете. По этой ссылке ни одного мудрёного заклинания насчёт "обратных тригонометрических функций" нету... Лишнее это в данной теме.
Если вы в курсе, достаточно сказать себе: "Икс - это угол, косинус которого равен 2/3". И сразу, чисто по определению арккосинуса, можно записать:
Вспоминаем про дополнительные обороты и спокойно записываем первую серию корней нашего тригонометрического уравнения:
х 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Практически автоматом записывается и вторая серия корней, для второго угла. Всё то же самое, только икс (arccos 2/3) будет с минусом:
х 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
И все дела! Это правильный ответ. Даже проще, чем с табличными значениями. Ничего вспоминать не надо.) Кстати, самые внимательные заметят, что эта картинка с решением через арккосинус ничем, в сущности, не отличается от картинки для уравнения cosx = 0,5.
Именно так! Общий принцип на то и общий! Я специально нарисовал две почти одинаковые картинки. Круг нам показывает угол х по его косинусу. Табличный это косинус, или нет - кругу неведомо. Что это за угол, π /3, или арккосинус какой - это уж нам решать.
С синусом та же песня. Например:
Вновь рисуем круг, отмечаем синус, равный 1/3, рисуем углы. Получается вот такая картина:
И опять картинка почти та же, что и для уравнения sinx = 0,5. Опять начинаем с угла в первой четверти. Чему равен икс, если его синус равен 1/3 ? Не вопрос!
Вот и готова первая пачка корней:
х 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Разбираемся со вторым углом. В примере с табличным значением 0,5 он был равен:
π - х
Так и здесь он будет точно такой же! Только икс другой, arcsin 1/3. Ну и что!? Можно смело записывать вторую пачку корней:
х 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Это совершенно правильный ответ. Хотя и выглядит не очень привычно. Зато понятно, надеюсь.)
Вот так решаются тригонометрические уравнения с помощью круга. Этот путь нагляден и понятен. Именно он спасает в тригонометрических уравнениях с отбором корней на заданном интервале, в тригонометрических неравенствах - те вообще решаются практически всегда по кругу. Короче, в любых заданиях, которые чуть сложнее стандартных.
Применим знания на практике?)
Решить тригонометрические уравнения:
Сначала попроще, прямо по этому уроку.
Теперь посложнее.
Подсказка: здесь придётся поразмышлять над кругом. Лично.)
А теперь внешне простенькие... Их ещё частными случаями называют.
sinx = 0
sinx = 1
cosx = 0
cosx = -1
Подсказка: здесь надо сообразить по кругу, где две серии ответов, а где одна... И как вместо двух серий ответов записать одну. Да так, чтобы ни один корень из бесконечного количества не потерялся!)
Ну и совсем простые):
sinx = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Подсказка: здесь надо знать, что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс? Самые простые определения. Зато вспоминать никаких табличных значений не надо!)
Ответы, разумеется, в беспорядке):
х 1
= arcsin0,3 + 2π
n, n ∈ Z
х 2
= π
- arcsin0,3 + 2
Не всё получается? Бывает. Прочтите урок ещё раз. Только вдумчиво (есть такое устаревшее слово...) И по ссылкам походите. Главные ссылки - про круг. Без него в тригонометрии - как дорогу переходить с завязанными глазами. Иногда получается.)
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Урок и презентация на тему: "Решение простейших тригонометрических уравнений"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса от 1С
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение в пространстве
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"
Что будем изучать:
1. Что такое тригонометрические уравнения?
3. Два основных метода решения тригонометрических уравнений.
4. Однородные тригонометрические уравнения.
5. Примеры.
Что такое тригонометрические уравнения?
Ребята, мы с вами изучили уже арксинуса, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Теперь давайте посмотрим на тригонометрические уравнения в общем.
Тригонометрические уравнения – уравнения в котором переменная содержится под знаком тригонометрической функции.
Повторим вид решения простейших тригонометрических уравнений:
1)Если |а|≤ 1, то уравнение cos(x) = a имеет решение:
X= ± arccos(a) + 2πk
2) Если |а|≤ 1, то уравнение sin(x) = a имеет решение:
3) Если |а| > 1, то уравнение sin(x) = a и cos(x) = a не имеют решений 4) Уравнение tg(x)=a имеет решение: x=arctg(a)+ πk
5) Уравнение ctg(x)=a имеет решение: x=arcctg(a)+ πk
Для всех формул k- целое число
Простейшие тригонометрические уравнения имеют вид: Т(kx+m)=a, T- какая либо тригонометрическая функция.
Пример.Решить уравнения: а) sin(3x)= √3/2
Решение:
А) Обозначим 3x=t, тогда наше уравнение перепишем в виде:
Решение этого уравнения будет: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.
Из таблицы значений получаем: t=((-1)^n)×π/3+ πn.
Вернемся к нашей переменной: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,
Тогда x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3
Ответ: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, где n-целое число. (-1)^n – минус один в степени n.
Ещё примеры тригонометрических уравнений.
Решить уравнения: а) cos(x/5)=1 б)tg(3x- π/3)= √3Решение:
А) В этот раз перейдем непосредственно к вычислению корней уравнения сразу:
X/5= ± arccos(1) + 2πk. Тогда x/5= πk => x=5πk
Ответ: x=5πk, где k – целое число.
Б) Запишем в виде: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Мы знаем что: arctg(√3)= π/3
3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3
Ответ: x=2π/9 + πk/3, где k – целое число.
Решить уравнения: cos(4x)= √2/2. И найти все корни на отрезке .
Решение:
Решим в общем виде наше уравнение: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk
4x= ± π/4 + 2πk;
X= ± π/16+ πk/2;
Теперь давайте посмотрим какие корни попадут на наш отрезок. При k
При k=0, x= π/16, мы попали в заданный отрезок .
При к=1, x= π/16+ π/2=9π/16, опять попали.
При k=2, x= π/16+ π=17π/16, а тут вот уже не попали, а значит при больших k тоже заведомо не будем попадать.
Ответ: x= π/16, x= 9π/16
Два основных метода решения.
Мы рассмотрели простейшие тригонометрические уравнения, но существуют и более сложные. Для их решения применяют метод ввода новой переменной и метод разложения на множители. Давайте рассмотрим примеры.Решим уравнение:
Решение:
Для решения нашего уравнения воспользуемся методом ввода новой переменной, обозначим: t=tg(x).
В результате замены получим: t 2 + 2t -1 = 0
Найдем корни квадратного уравнения: t=-1 и t=1/3
Тогда tg(x)=-1 и tg(x)=1/3, получили простейшее тригонометрическое уравнение, найдем его корни.
X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.
Ответ: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.
Пример решения уравнения
Решить уравнений: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0
Решение:
Воспользуемся тождеством: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1
Наше уравнение примет вид:2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0
2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0
Введем замену t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0
Решением нашего квадратного уравнения являются корни: t=2 и t=-1/2
Тогда cos(x)=2 и cos(x)=-1/2.
Т.к. косинус не может принимать значения больше единицы, то cos(x)=2 не имеет корней.
Для cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk
Ответ: x= ±2π/3 + 2πk
Однородные тригонометрические уравнения.
Определение: Уравнение вида a sin(x)+b cos(x) называются однородными тригонометрическими уравнениями первой степени.Уравнения вида
однородными тригонометрическими уравнениями второй степени.
Для решения однородного тригонометрического уравнения первой степени разделим его на cos(x):
Делить на косинус нельзя если он равен нулю, давайте убедимся что это не так:
Пусть cos(x)=0, тогда asin(x)+0=0 => sin(x)=0, но синус и косинус одновременно не равны нулю, получили противоречие, поэтому можно смело делить на ноль.
Решить уравнение:
Пример: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0
Решение:
Вынесем общий множитель: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0
Тогда нам надо решить два уравнения:
Cos(x)=0 и cos(x)+sin(x)=0
Cos(x)=0 при x= π/2 + πk;
Рассмотрим уравнение cos(x)+sin(x)=0 Разделим наше уравнение на cos(x):
1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk
Ответ: x= π/2 + πk и x= -π/4+πk
Как решать однородные тригонометрические уравнения второй степени?
Ребята, придерживайтесь этих правил всегда!
1. Посмотреть чему равен коэффициент а, если а=0 то тогда наше уравнение примет вид cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), пример решения которого на предыдущем слайде
2. Если a≠0, то нужно поделить обе части уравнения на косинус в квадрате, получим:
Делаем замену переменной t=tg(x) получаем уравнение:
Решить пример №:3
Решить уравнение:Решение:
Разделим обе части уравнения на косинус квадрат:
Делаем замену переменной t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0
Найдем корни квадратного уравнения: t=-3 и t=1
Тогда: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk
Tg(x)=1 => x= π/4+ πk
Ответ: x=-arctg(3) + πk и x= π/4+ πk
Решить пример №:4
Решить уравнение:Решение:
Преобразуем наше выражение:
Решать такие уравнение мы умеем: x= - π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk
Ответ: x= - π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk
Решить пример №:5
Решить уравнение:Решение:
Преобразуем наше выражение:
Введем замену tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0
Решением нашего квадратного уравнения будут корни: t=-2 и t=1/2
Тогда получаем: tg(2x)=-2 и tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2
2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2
Ответ: x=-arctg(2)/2 + πk/2 и x=arctg(1/2)/2+ πk/2
Задачи для самостоятельного решения.
1) Решить уравнениеА) sin(7x)= 1/2 б) cos(3x)= √3/2 в) cos(-x) = -1 г) tg(4x) = √3 д) ctg(0.5x) = -1.7
2) Решить уравнения: sin(3x)= √3/2. И найти все корни на отрезке [π/2; π ].
3) Решить уравнение: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0
4) Решить уравнение: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0
5) Решить уравнение:3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0
6)Решить уравнение:cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)
Требует знания основных формул тригонометрии - сумму квадратов синуса и косинуса, выражение тангенса через синус и косинус и другие. Для тех, кто их забыл или не знает рекомендуем прочитать статью " ".
Итак, основные тригонометрические формулы мы знаем, пришло время использовать их на практике. Решение тригонометрических уравнений
при правильном подходе – довольно увлекательное занятие, как, например, собрать кубик Рубика.
Исходя из самого названия видно, что тригонометрическое уравнение – это уравнение, в котором неизвестное находится под знаком тригонометрической функции.
Существуют так называемые простейшие тригонометрические уравнения. Вот как они выглядят: sinх = а, cos x = a, tg x = a. Рассмотрим, как решить такие тригонометрические уравнения
, для наглядности будем использовать уже знакомый тригонометрический круг.
sinх = а
cos x = a
tg x = a
cot x = a
Любое тригонометрическое уравнение решается в два этапа: приводим уравнение к простейшему виду и далее решаем его, как простейшее тригонометрическое уравнение.
Существует 7 основных методов, с помощью которых решаются тригонометрические уравнения.
Метод замены переменной и подстановки
Решение тригонометрических уравнений через разложение на множители
Приведение к однородному уравнению
Решение уравнений, через переход к половинному углу
Введение вспомогательного угла
Решить уравнение 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0
Используя формулы приведения получим:
2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0
Заменим cos(x + /6) на y для упрощения и получаем обычное квадратное уравнение:
2y 2 – 3y + 1 + 0
Корни которого y 1 = 1, y 2 = 1/2
Теперь идем в обратном порядке
Подставляем найденные значения y и получаем два варианта ответа:
Как решить уравнение sin x + cos x = 1 ?
Перенесем все влево, чтобы справа остался 0:
sin x + cos x – 1 = 0
Воспользуемся вышерассмотренными тождествами для упрощения уравнения:
sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0
Делаем разложение на множители:
2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0
2sin(x/2) * = 0
Получаем два уравнения
Уравнение является однородным относительно синуса и косинуса, если все его члены относительно синуса и косинуса одной и той же степени одного и того же угла. Для решения однородного уравнения, поступают следующим образом:
а) переносят все его члены в левую часть;
б) выносят все общие множители за скобки;
в) приравнивают все множители и скобки к 0;
г) в скобках получено однородное уравнение меньшей степени, его в свою очередь делят на синус или косинус в старшей степени;
д) решают полученное уравнение относительно tg.
Решить уравнение 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2
Воспользуемся формулой sin 2 x + cos 2 x = 1 и избавимся от открытой двойки справа:
3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x
sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0
Делим на cos x:
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0
Заменяем tg x на y и получаем квадратное уравнение:
y 2 + 4y +3 = 0, корни которого y 1 =1, y 2 = 3
Отсюда находим два решения исходного уравнения:
x 2 = arctg 3 + k
Решить уравнение 3sin x – 5cos x = 7
Переходим к x/2:
6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)
Пререносим все влево:
2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0
Делим на cos(x/2):
tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0
Для рассмотрения возьмем уравнение вида: a sin x + b cos x = c ,
где a, b, c – некоторые произвольные коэффициенты, а x – неизвестное.
Обе части уравнения разделим на :
Теперь коэффициенты уравнения согласно тригонометрическим формулам обладают свойствами sin и cos, а именно: их модуль не более 1 и сумма квадратов = 1. Обозначим их соответственно как cos и sin , где – это и есть так называемый вспомогательный угол. Тогда уравнение примет вид:
cos * sin x + sin * cos x = С
или sin(x + ) = C
Решением этого простейшего тригонометрического уравнения будет
х = (-1) k * arcsin С - + k, где
Следует отметить, что обозначения cos и sin взаимозаменяемые.
Решить уравнение sin 3x – cos 3x = 1
В этом уравнении коэффициенты:
а = , b = -1, поэтому делим обе части на = 2
Соотношения между основными тригонометрическими функциями – синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом - задаются тригонометрическими формулами . А так как связей между тригонометрическими функциями достаточно много, то этим объясняется и обилие тригонометрических формул. Одни формулы связывают тригонометрические функции одинакового угла, другие – функции кратного угла, третьи – позволяют понизить степень, четвертые – выразить все функции через тангенс половинного угла, и т.д.
В этой статье мы по порядку перечислим все основные тригонометрические формулы, которых достаточно для решения подавляющего большинства задач тригонометрии. Для удобства запоминания и использования будем группировать их по назначению, и заносить в таблицы.
Навигация по странице.
Основные тригонометрические тождества
Основные тригонометрические тождества задают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Они вытекают из определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также понятия единичной окружности . Они позволяют выразить одну тригонометрическую функцию через любую другую.
Подробное описание этих формул тригонометрии, их вывод и примеры применения смотрите в статье .
Формулы приведения
Формулы приведения следуют из свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса , то есть, они отражают свойство периодичности тригонометрических функций, свойство симметричности, а также свойство сдвига на данный угол. Эти тригонометрические формулы позволяют от работы с произвольными углами переходить к работе с углами в пределах от нуля до 90 градусов.
Обоснование этих формул, мнемоническое правило для их запоминания и примеры их применения можно изучить в статье .
Формулы сложения
Тригонометрические формулы сложения показывают, как тригонометрические функции суммы или разности двух углов выражаются через тригонометрические функции этих углов. Эти формулы служат базой для вывода следующих ниже тригонометрических формул.
Формулы двойного, тройного и т.д. угла
Формулы двойного, тройного и т.д. угла (их еще называют формулами кратного угла) показывают, как тригонометрические функции двойных, тройных и т.д. углов () выражаются через тригонометрические функции одинарного угла . Их вывод базируется на формулах сложения.
Более детальная информация собрана в статье формулы двойного, тройного и т.д. угла .
Формулы половинного угла
Формулы половинного угла показывают, как тригонометрические функции половинного угла выражаются через косинус целого угла . Эти тригонометрические формулы следуют из формул двойного угла.
Их вывод и примеры применения можно посмотреть в статье .
Формулы понижения степени
Тригонометрические формулы понижения степени призваны содействовать переходу от натуральных степеней тригонометрических функций к синусам и косинусам в первой степени, но кратных углов. Иными словами, они позволяют понижать степени тригонометрических функций до первой.
Формулы суммы и разности тригонометрических функций
Основное предназначение формул суммы и разности тригонометрических функций заключается в переходе к произведению функций, что очень полезно при упрощении тригонометрических выражений. Указанные формулы также широко используются при решении тригонометрических уравнений, так как позволяют раскладывать на множители сумму и разность синусов и косинусов.
Формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус
Переход от произведения тригонометрических функций к сумме или разности осуществляется посредством формул произведения синусов, косинусов и синуса на косинус .
Copyright by cleverstudents
Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www.сайт, включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.
Не секрет, что успех или неудача в процессе решения практически любой задачи, в основном зависит от правильности определения типа заданного уравнения, а также от правильности воспроизведения последовательности всех этапов его решения. Однако в случае с тригонометрическими уравнениями, определить факт того, что уравнение именно тригонометрическое, вовсе несложно. А вот в процессе определения последовательности действий, которые должны привести нас к правильному ответу, можно столкнуться с определенными сложностями. Давайте разберемся, как решать тригонометрические уравнения правильно с самого начала.
Решение тригонометрических уравнений
Для того, чтобы решить тригонометрическое уравнение, нужно попробовать выполнить следующие моменты:
- Приводим все функции, которые входят в наше уравнение к «одинаковым углам»;
- Нужно довести заданное уравнение до «одинаковых функций»;
- Раскладываем левую часть заданного уравнения на множители или другие нужные составляющие.
Методы
Метод 1. Решать такие уравнения необходимо в два этапа. Первый- преобразовываем уравнение для того, чтобы получить его простейший (упрощенный) вид. Уравнение: Cosx = a, Sinx = a и подобные, называются простейшими тригонометрическими уравнениями. Второй этап- решаем полученное простейшее уравнение. Следует отметить, что простейшее уравнение можно решить алгебраическим методом, который отлично известен нам из школьного курса алгебры. Его также называют методом замены подстановки и переменной. С помощью формул приведения, сначала нужно преобразовать, затем сделать замену и после этого найти корни.
Далее нужно разложить наше уравнение на возможные множители, для этого необходимо перенести все члены влево и затем можно раскладывать на множители. Теперь нужно привести данное уравнение к однородному, в котором все члены равняются одной степени, а косинус и синус имеют один и тот же угол.
Перед тем, как решать тригонометрические уравнения, нужно перенести его члены в левую часть, забрав из правой, а затем выносим все общие знаменатели за скобки. Приравниваем наши скобки и множители к нулю. Наши приравненные скобки представляют собой однородное уравнение с уменьшенной степенью, которое нужно разделить на sin (cos) в старшей степени. Теперь решаем алгебраическое уравнение, которое было получено, в соотношении к tan.
Метод 2. Еще одним методом, с помощью которого, можно решить тригонометрическое уравнение является переход к половинному углу. К примеру, решаем уравнение: 3sinx-5cosx=7.
Нам нужно перейти к половинному углу, в нашем случае это: 6sin(x/2)*cos(x/2)- 5cos²(x/2)+5sin²(x/2) = 7sin²(x/2)+7cos²(x/2).А после этого, сводим все члены в одну часть (для удобства лучше выбрать правую) и приступаем к решению уравнения.
При необходимости можно вводить вспомогательный угол. Это делается в случае, когда нужно заменить целое значение sin (a) или cos (a) и знак «a» как раз и выступает вспомогательным углом.
Произведение в сумму
Как решать тригонометрические уравнения, используя произведение в сумму? Метод известный как преобразование произведения в сумму также может быть использован в решении таких уравнений. В этом случае необходимо использовать соответствующие уравнению формулы.
К примеру, у нас есть уравнение: 2sinx * sin3x= сos4x
Нам нужно решить эту задачу путем преобразования левой части в сумму, а именно:
сos 4x –cos8x=cos4x ,
х = p/16 + pk/8.
Если вышеприведенные методы не подходят, и Вы все еще не знаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, можно воспользоваться еще одним методом – универсальная подстановка. С его помощью можно преобразовать выражение и произвести замену. К примеру: Cos(x/2)=u. Теперь можно решать уравнение с имеющимся параметром u. А получив нужный результат, не забываем перевести это значение в обратное.
Многие «опытные» ученики советуют обратиться за решением уравнений к людям в онлайн-режиме. Как решить тригонометрическое уравнение онлайн, спросите Вы. Для онлайн решения задачи, Вы можете обратиться на форумы соответствующей тематике, где Вам могут помочь советом или же в решении задачи. Но лучше всего, все же попытаться обойтись собственными силами.
Навыки и умения в решении тригонометрических уравнений являются очень важными и полезными. Их развитие потребует от Вас немалых усилий. С решением таких уравнений связаны многие задачи физики, стереометрии и т.д. А сам процесс решения подобных задач предполагает собой наличие умений и знаний, которые можно приобрести во время изучения элементов тригонометрии.
Учим тригонометрические формулы
В процессе решения уравнения Вы можете столкнуться с надобностью использования любой формулы из тригонометрии. Можно, конечно, начать искать ее в своих учебниках и шпаргалках. А если эти формулы отложены у Вас в голове, вы не только сэкономите свои нервы, но и значительно облегчите себе задачу, не тратя времени на поиск нужной информации. Таким образом, у Вас будет возможность для продумывания наиболее рационального пути решения поставленной задачи.
