Конус. Усеченный конус
Рассмотрим какую-либо линию l (кривую или ломаную), лежащую в некоторой плоскости (рис. 386, а, б), и произвольную точку М, не лежащую в этой плоскости. Всевозможные прямые, соединяющие точку М со всеми точками линии образуют поверхность а; такая поверхность называется конической поверхностью, точка вершиной, линия - направляющей, прямые образующими. На рис. 386 мы не ограничиваем поверхность а ее вершиной, но представляем себе ее простирающейся неограниченно в обе стороны от вершины.
Если коническую поверхность рассечь какой-либо плоскостью, параллельной плоскости направляющей , то в сечении получим линию (кривую или ломаную, в зависимости от того, была ли кривой или ломаной линия ), гомотетичную линии l, с центром гомотетии в вершине конической поверхности. Действительно, отношение любых соответствующих отрезков образующих будет постоянным:
Итак, сечения коническои поверхности плоскостями, параллельными плоскости направляющей, подобны и подобно расположены, с центром подобия в вершине конической поверхности; это же верно для любых параллельных плоскостей, не проходящих через вершину поверхности.
Пусть теперь направляющая - замкнутая выпуклая линия (кривая на рис. 387, а, ломаная на рис. 387, б). Тело, ограниченное с боков конической поверхностью, взятой между ее вершиной и плоскостью направляющей, и плоским основанием в плоскости направляющей, называется конусом (если -кривая линия) или пирамидой (если -ломаная).
Пирамиды классифицируются по числу сторон многоугольника, лежащего в их основании. Говорят о треугольной, четырехугольной и вообще -угольной пирамидах. Заметим, что -угольная пирамида имеет грань: боковых граней и основание. При вершине пирамиды мы имеем -гранный угол с плоскими и двугранными углами.
Они соответственно называются плоскими углами при вершине и двугранными углами при боковых ребрах. При вершинах основания мы имеем трехгранных углов; их плоские углы, образованные боковыми, ребрами и сторонами основания, называются плоскими углами при основании, двугранные углы между боковыми гранями и плоскостью основания - двугранными углами при основании.
Треугольная пирамида иначе называется тетраэдром (т. е. четырехгранником). Любая из ее граней может быть принята за основание.
Пирамида называется правильной при выполнении двух условий: 1) в основании пирамиды лежит правильный многоугольник,
2) высота, опущенная из вершины пирамиды на основание, пересекает его в центре этого многоугольника (иначе говоря, вершина пирамиды проектируется в центр основания).
Заметим, что правильная пирамида не является, вообще говоря, правильным многогранником!
Отметим некоторые свойства правильной -угольной пирамиды. Проведем через вершину такой пирамиды высоту SO (рис. 388).
Повернем всю пирамиду как целое вокруг этой высоты на угол При таком повороте многоугольник основания перейдет сам в себя: каждая из его вершин займет положение соседней. Вершина пирамиды и ее высота (ось вращения!) останутся на месте, и поэтому пирамида как целое совместится сама с собой: каждое боковое ребро перейдет в соседнее, каждая боковая грань совместится с соседней, каждый двугранный угол при боковом ребре также совместится с соседним.
Отсюда вывод: все боковые ребра равны между собой, все боковые грани суть равные равнобедренные треугольники, все двугранные углы при основании равны, все плоские углы при вершине равны, все плоские углы при основании равны.
Из числа конусов в курсе элементарной геометрии мы изучаем прямой круговой конус, т. е. такой конус, основание которого круг, а вершина проектируется в центр этого круга.
Прямой круговой конус показан на рис. 389. Если проведем через вершину конуса высоту SO и повернем конус вокруг этой высоты на произвольный угол, то окружность основания будет скользить сама по себе; высота и вершина останутся на месте, поэтому при повороте на любой угол конус совместится сам с собой. Отсюда видно, в частности, что все образующие конуса равны между собой и одинаково наклонены к плоскости основания. Сечения конуса плоскостями, проходящими через его высоту, будут равнобедренными треугольниками, равными между собой. Весь конус получается от вращения прямоугольного треугольника SOA вокруг его катета (который становится высотой конуса). Поэтому прямой круговой конус является телом вращения и также называется конусом вращения. Если не оговорено противное, мы для краткости в дальнейшем говорим просто «конус», понимая под этим конус вращения.
Сечения конуса плоскостями, параллельными плоскости его основания, суть круги (хотя бы потому, что они гомотетичны кругу основания).
Задача. Двугранные углы при основании правильной треугольной пирамиды равны а. Найти двугранные углы при боковых ребрах.
Решение. Обозначим временно сторону основания пирамиды через а. Проведем сечение пирамиды плоскостью, содержащей ее высоту SO и медиану основания AM (рис. 390).
Определения:
Определение 1. Конус
Определение 2. Круговой конус
Определение 3. Высота конуса
Определение 4. Прямой конус
Определение 5. Прямой круговой конус
Теорема 1. Образующие конуса
Теорема 1.1. Осевое сечение конуса
Объем и площади :
Теорема 2. Объем конуса
Теорема 3. Площадь боковой поверхности конуса
Усеченный конус :
Теорема 4. Сечение, параллельное основанию
Определение 6. Усеченный конус
Теорема 5. Объем усеченного конуса
Теорема 6. Площадь боковой поверхности усеченного конуса
Определние
Тело ограниченное с боков конической поверхностью, взятой между её вершиной и плоскостью направляющей, и плоским основанием направляющей, образованным замкнутой кривой, называется конусом.
Основные понятия
Круговым конусом называют тело, которое состоит из круга (основания), точки, не лежащей в плоскости основания (вершины) и всех отрезков соединяющих вершину с точками основания.
Прямым конусом называется конус, высота которого основанием содержит центр основания конуса.
Рассмотрим какую-либо линию (кривую, ломаную или смешанную)(например, l
), лежащую в некоторой плокости, и произвольную точку (например, М), не лежащую в этой плоскости. Всевозможные прямые, соединяющие точку М со всеми точками данной линии l
, образуют поверхность, называемую канонической
. Точка М является вершиной такой поверхности, а заданная линия l
- направляющей
. Все прямые соединяющие точку М со всеми точками линии l
, называют образующими
.
Каноническая поверхность не ограничивается ни её вершиной, ни направляющей. Она простирается неограниченно в обе стороны от вершины. Пусть теперь направляющая - замкнутая выпуклая линия. Если направляющая - ломаная линия, то тело, ограниченное с боков канонической поверхностью, взятой между её вершиной и плокостью направляющей, и плоским основанием в плоскости направляющей, называется пирамидой .
Если же направляющая - кривая или смешанная линия, то тело, ограниченное с боков канонической поверхностью, взятой между её вершиной и плокостью направляющей, и плоским основанием в плоскости направляющей, называется конусом или
Определение 1
. Конусом называют тело, состоящее из основания - плоской фигуры, ограниченной замкнутой линией (кривой или смешанной), вершины - точки, не лежащей в плокости основания, и всех отрезков, соединяющих вершину со всевозможными точками основания.
Все прямые, проходящие через вершину конуса и любую из точек кривой, ограничивающей фигуру основания конуса, называются образующими конуса. Чаще всего в геометрических задачах под образующей прямой имеется ввиду отрезок этой прямой, заключенный между вершиной и плоскостью основания конуса.
Основание ограниченной смешанной линией - это очень редкий случай. Он сдесь указан только потому, что он может быть рассмотрен в геометрии. Чаще рассматривается случай с криволинейной направляющей. Хотя, что случай с произвольной кривой, что случай со смешанной направляющей, мало чем полезен и в них сложно вывести какие-любо закономерности. Из числа конусов в курсе элементарной геометрии изучается прямой круговой конус.
Известно, что окружность есть частный случай замкнутой кривой линии. Круг - плоская фигура, ограниченная окружностью. Принимая окружность за направляющую, можно определеить круговой конус.
Определение 2
. Круговым конусом называют тело, которое состоит из круга (основания), точки, не лежащей в плоскости основания (вершины) и всех отрезков соединяющих вершину с точками основания.
Определение 3
. Высота конуса - перпендикуляр, опущенный из вершины на плокость основания конуса. Можно выделить конус, высота которого падает в центр плоской фигуры основания.
Определение 4
. Прямым конусом называется конус, высота которого основанием содержит центр основания конуса.
Если связать эти два определения, мы получим конус, основание котрого есть круг, а высота падает в центр этого круга.
Определение 5
. Прямым круговым конусом называют конус, основание котрого есть круг, а высота его соединяет вершину и центр основания данного конуса.
Такой конус получается вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Поэтому прямой круговой конус является телом вращения и называется также конусом вращения. Если не оговорено противное, то для краткости в дальнейшем говорим просто конус.
Итак приведем некоторые свойства конуса:
Теорема 1 .
Все образующие конуса равны. Доказательство. Высота МО перпендикулярна всем прямым основания по определению перпендикулярной прямой к плокости. Поэтому треугольники МОА, МОВ и МОС являются прямоугольными и равны по двум катетам (МО - общая, ОА=ОВ=ОС - радиусы основания. Поэтому равны и гипотенузы, т.е. образующие.
Радиус основания конуса иногда называют радиусом конуса
. Высота конуса называется также осью конуса
, поэтому любое сечение, проходящее через высоту называется осевым сечением
. Любое осевое сечение пересекает основание по диаметру (т.к. прямая, по которой пересекаются осевое сечение и плокость основания, проходит через центр окружности) и образует равнобедренный треугольник.
Теорема 1.1.
Осевое сечение конуса есть равнобедренный треугольник. Так треугольник АМВ является равнобедренным, т.к. две его стороны МВ и МА есть образующие. Угол АМВ является углом при вершине осевого сечения.
В сечении конической поверхности плоскостью получаются кривые второго порядка - окружность, эллипс, парабола и гипербола. В частом случае при определенном расположении секущей плоскости и когда она проходит через вершину конуса (S∈γ), окружность и эллипс вырождаются в точку или в сечении попадает одна или две образующих конуса.
Дает - окружность, когда секущая плоскость перпендикулярна к его оси и пересекает все образующие поверхности.
Дает - эллипс, когда секущая плоскость не перпендикулярна к его оси и пересекает все образующие поверхности.
Построим эллиптическое ω плоскостью α , занимающей общее положение.
Решение задачи на сечение прямого кругового конуса плоскостью значительно упрощается, если секущая плоскость занимает проецирующее положение.
Способом перемены плоскостей проекций переведем плоскость α
из общего положения в частное - фронтально-проецирующее. На фронтальной плоскости проекций V 1
построим след плоскости α
и проекцию поверхности конуса ω
плоскостью дает эллипс, так как секущая плоскость пересекает все образующие конуса. Эллипс проецируется на плоскости проекций в виде кривой второго порядка.
На следе плоскости α V
берем произвольную точку 3"
замеряем ее удаление от плоскости проекций H
и откладываем его по линии связи уже на плоскости V 1
, получая точку 3" 1
. Через нее и пройдет след αV 1
. Линия сечения конуса ω
- точки A" 1
, E" 1
совпадает здесь со следом плоскости. Далее построим вспомогательную секущию плоскость γ3, проведя на фронтальной плоскости проекций V 1
ее след γ 3V 1
. Вспомогательная плоскость пересекаясь с конической поверхностью ω
даст окружность, а пересекаясь с плоскостью α
даст горизонтальную прямую h3. В свою очередь прямая пересекаясь с окружностью дает искомые точки C`и K`
пересечения плоскости α
c конической поверхностью ω
. Фронтальные проекции искомых точек C" и K"
построим как точки принадлежащие секущей плоскости α
.
Для нахождения точки E(E`, E") линии сечения, проводим через вершину конуса горизонтально-проецирующую плоскость γ 2 H , которая пересечет плоскость α по прямой 1-2(1`-2`, 1"-2") . Пересечение 1"-2" с линией связи дает точку E" - наивысшую точку линии сечения.
Для нахождения точки указывающей границы видимости фронтальной проекции линии сечения, проводим через вершину конуса горизонтально-проецирующую плоскость γ 5 H
и находим горизонтальную проекцию F`
искомой точки. Также, плоскость γ 5 H
пересечет плоскость α
по фронтали f(f`, f")
. Пересечение f"
с линией связи дает точку F"
. Соединяем полученные на горизонтальной проекции точки плавной кривой, отметив на ней крайнюю левую точку G - одну из характерных точек линии пересечения.
Затем, строим проекции G на фронтальных плоскостях проекций V1 и V.
Все построенные точки линии сечения на фронтальной плоскости проекций V соединяем плавной линией.
Дает - параболу, когда секущая плоскость параллельна одной образующей конуса.
При построении проекций кривых - конических сечений необходимо помнить о теореме: ортогональная проекция плоского сечения конуса вращения на плоскость, перпендикулярную к его оси, есть кривая второго порядка и имеет одним из своих фокусов ортогональную проекцию на эту плоскость вершины конуса.
Рассмотрим построение проекций сечения, когда секущая плоскость α параллельна одной образующей конуса (SD) .
В сечении получится парабола с вершиной в точке A(A`, A") . Согласно теореме вершина конуса S проецируется в фокус S` . По известному =R S` определяем положение директрисы параболы. В последующем точки кривой строятся по уравнению p=R .
Построение проекций сечения, когда секущая плоскость α параллельна одной образующей конуса, может быть выполнено:
С помощью вспомогательных горизонтально-проецирующих плоскостей проходящих через вершину конуса γ 1 H и γ 2 H .
Сначала определятся фронтальные проекции точек F", G" - на пересечении образующих S"1", S"2" и следа секущей плоскости α V . На пересечении линий связи с γ 1 H и γ 2 H определяться F`, G` .
Аналогично могут быть определены и другие точки линии сечения, например D", E" и D`, E` .
С помощью вспомогательных фронтально-проецирующих плоскостей ⊥ оси конуса γ 3 V и γ 4 V .
Проекциями сечения вспомогательных плоскостей и конуса на плоскость H , будут окружности. Линиями пересечения вспомогательных плоскостей с секущей плоскостью α будут фронтально- проецирующие прямые.
Дает - гиперболу, когда секущая плоскость параллельна двум образующим конуса.
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цели урока:
- Образовательная : ввести понятие конуса, его элементов; рассмотреть построение прямого конуса; рассмотреть нахождение полной поверхности конуса; формировать умения решать задачи на нахождение элементов конуса.
- Развивающая : развивать грамотную математическую речь, логическое мышление.
- Воспитательная : воспитывать познавательную активность, культуру общения, культуры диалога.
Форма урока: урок формирования новых знаний и умений.
Форма учебной деятельности: коллективная форма работы.
Методы, используемые на уроке: объяснительно-иллюстративный, продуктивный.
Дидактический материал: тетрадь, учебник, ручка, карандаш, линейка, доска, мел и цветные мелки, проектор и презентация «Конус. Основные понятия. Площадь поверхности конуса».
План урока:
- Организационный момент (1 мин).
- Подготовительный этап (мотивация) (5 мин).
- Изучение нового материала (15 мин).
- Решение задач на нахождение элементов конуса (15 мин).
- Подведение итогов урока (2 мин).
- Задание на дом (2 мин).
ХОД УРОКА
1. Организационный момент
Цель: подготовить к усвоению нового материала.
2. Подготовительный этап
Форма: устная работа.
Цель: знакомство с новым телом вращения.
Конус в переводе с греческого “konos” означает “сосновая шишка”.
Встречаются тела в форме конуса. Их можно рассмотреть в различных предметах, начиная с обычного мороженого и заканчивая техникой, так же в детских игрушках (пирамидка, хлопушка и др.), в природе (ель, горы, вулканы, смерчи).
(Используются Слайды 1-7)
| Деятельность учителя | Деятельность ученика |
3. Объяснение нового материала Цель: ввести новые понятия и свойства конуса. |
|
| 1. Конус может быть получен вращением
прямоугольного треугольника вокруг одного из
его катетов. (Слайд 8) Теперь рассмотрим, как строится конус. Сначала изображаем окружность с центром O и прямую OP, перпендикулярную к плоскости этой окружности. Каждую точку окружности соединим отрезком с точкой P (учитель поэтапно строит конус). Поверхность, образованная этими отрезками, называется конической поверхностью , а сами отрезки – образующими конической поверхности . |
В тетрадях строят конус. |
| (диктует определение) (Слайд 9) Тело, ограниченной конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом . | Записывают определение. |
| Коническая поверхность называется боковой поверхностью конуса , а круг – основанием конуса . Прямая OP, проходящая через центр основания и вершину, называется осью конуса . Ось конуса перпендикулярна плоскости основания. Отрезок OP называется высотой конуса . Точка P называется вершиной конуса , а образующие конической поверхности – образующими конуса . | На чертеже подписывают элементы конуса. |
| Назовите две образующие конуса и сравните их? | PA и PB, они равны. |
| Почему образующие равны? | Проекции наклонных равны как радиусы окружности, значит и сами образующие равны. |
| Запишите в тетради: свойства конуса: | (Слайд 10) |
| 1. Все образующие конуса равны.
Назовите
углы наклона образующих к основанию? Сравните их. |
Углы: PСО, PDO. Они равны. |
| 2. Углы наклона образующих к основанию
равны.
Назовите углы между осью и
образующими? |
СРО и DPO |
| 3. Углы между осью и образующими равны.
Назовите
углы между осью и основанием? |
POC и POD. |
| 4. Углы между осью и основанием прямые.
Мы будем рассматривать только прямой конус. |
|
| 2. Рассмотрим сечение конуса различными
плоскостями. Что представляет собой секущая плоскость, проходящая через ось конуса? |
Треугольник. |
| Какой это треугольник? | Он равнобедренный. |
| Почему? | Две его стороны являются образующими, а они равны. |
| Что представляет собой основание данного треугольника? | Диаметр основания конуса. |
| Такое сечение называется осевым. (Слайд
11) Начертите в тетрадях и подпишите это
сечение. Что представляет собой секущая плоскость, перпендикулярная оси OP конуса? |
Круг. |
| Где расположен центр этого круга? | На оси конуса. |
| Это сечение называется круговым
сечением.(Сдайл 12) Начертите в тетрадях и подпишите это сечение. Существуют и другие виды сечений конуса, которые не являются осевыми и не параллельны основанию конуса. Рассмотрим их на примерах. (Слайд 13) |
Чертят в тетрадях. |
| 3. Теперь выведем формулу полной
поверхности конуса. (Слайд 14) Для этого боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих. |
|
| Что является разверткой боковой поверхности конуса? (чертит на доске) | Круговой сектор. |
| Что является радиусом этого сектора? | Образующая конуса. |
| А длина дуги сектора? | Длина окружности. |
| За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки. (Слайд 15) | , где – градусная мера дуги. |
| Чему равна площадь кругового сектора? | |
| Значит, чему равна площадь боковой
поверхности конуса? Выразим через и . (Слайд 16) |
|
| С другой стороны эта же дуга представляет собой длину окружности основания конуса. Чему она равна? | |
| Подставляя в
формулу боковой поверхности конуса получим, . Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания.  .Запишите эти формулы. |
Записывают: , |
Полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Далее будет рассматриваться именно этот случай, если не оговорено обратное. Если основание конуса представляет собой многоугольник , конус становится пирамидой .
"== Связанные определения ==
- Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса .
- Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой ) поверхностью конуса . Образующая поверхность конуса является конической поверхностью .
- Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса .
- Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым . При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса .
- Косой (наклонный ) конус - конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
- Круговой конус - конус, основание которого является кругом.
- Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой , содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).
- Конус, опирающийся на эллипс , параболу или гиперболу , называют соответственно эллиптическим , параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).
- Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом .
Свойства
- Если площадь основания конечна, то объём конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.
- Центр тяжести любого конуса с конечным объёмом лежит на четверти высоты от основания.
- Телесный угол при вершине прямого кругового конуса равен
- Площадь боковой поверхности такого конуса равна
- Объем кругового конуса равен
- Пересечение плоскости с прямым круговым конусом является одним из конических сечений (в невырожденных случаях - эллипсом, параболой или гиперболой, в зависимости от положения секущей плоскости).
Обобщения
В алгебраической геометрии конус - это произвольное подмножество векторного пространства над полем , для которого для любого
См. также
- Конус (топология)
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Конус (геометрическая фигура)" в других словарях:
Конус: В математике Конус геометрическая фигура. Конус над топологическим пространством. Конус(Теория Категорий). В технике Конус инструментальный метод сопряжения инструмента и шпинделя в станках. Конусное устройство узел… … Википедия
Геометрия раздел математики, тесно связанный с понятием пространства; в зависимости от форм описания этого понятия возникают различные виды геометрии. Предполагается, что читатель, приступая к чтению этой статьи, обладает некоторыми… … Энциклопедия Кольера
Визуализация изображения информации на экране дисплея (монитора). В отличие от воспроизведения изображения на бумаге или ином носителе, изображение, созданное на экране, можно почти немедленно стереть или (и) подправить, сжать или растянуть,… … Энциклопедический словарь
История науки … Википедия
История науки По тематике Математика Естественные науки … Википедия
- (греч. geodaisia, от ge Земля и daio делю, разделяю), наука об определении положения объектов на земной поверхности, о размерах, форме и гравитационном поле Земли и других планет. Это отрасль прикладной математики, тесно связанная с геометрией,… … Энциклопедия Кольера
