Простые и сложные числа. Что такое простое число
Числа бывают разными: натуральными, естественными, рациональными, целыми и дробными, положительными и отрицательными, комплексными и простыми, нечетными и четными, действительными и др. Из данной статьи можно узнать, что такое простые числа.
Какие числа называют английским словом “симпл”?
Очень часто школьники на один из самых несложных на первый взгляд вопросов математики, о том что такое простое число, не знают, как ответить. Они часто путают простые числа с натуральными (то есть числа, которые используются людьми при счете предметов, при этом в некоторых источниках они начинаются с нуля, а в других - с единицы). Но это совершенно два разных понятия. Простые числа - это, натуральные, то есть целые и положительные числа, которые большее единицы и которые имеют всего лишь 2 натуральных делителя. При этом один из этих делителей - это данное число, а второй - единица. Например, три - это простое число, поскольку он не делится без остатка ни на какое другое число, кроме себя самого и единицы.
Составные числа
Противоположностью простых чисел являются составные. Они также являются натуральным, также больше единицы, но имеют не два, а большее количество делителей. Так, например, числа 4, 6, 8, 9 и т. д. являются натуральными, составными, но не простыми числами. Как видите - это в основном четные числа, но не все. А вот “двойка” - четное число и “первый номер” в ряду простых чисел.
Последовательность
Чтобы построить ряд простых чисел, необходимо совершить отбор из всех натуральных чисел с учетом их определения, то есть нужно действовать методом от противного. Необходимо рассмотреть каждое из натуральных положительных чисел на предмет того, имеет ли оно более двух делителей. Давайте постараемся построить ряд (последовательность), который составляют простые числа. Список начинается с двух, следующим идет три, поскольку оно делится только на себя и на единицу. Рассмотрим число четыре. Имеет ли оно делители, кроме четырех и единицы? Да, это число 2. Значит, четыре не является простым числом. Пять также является простым (оно, кроме 1 и 5, ни на какое другое число не делится), а вот шесть - делится. И вообще, если проследить за всеми четными числами, то можно заметить, что кроме “двух”, ни одно из них не является простым. Отсюда сделаем вывод, что четные числа, кроме двух, не являются простыми. Еще одно открытие: все числа, делящиеся на три, кроме самой тройки, будь то четные или нечетные, также не являются простыми (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 и т.д.). То же самое касается и чисел, которые делятся на пять и на семь. Все их множество также не является простым. Давайте подведем итоги. Итак, к простым однозначным числам относятся все нечетные числа, кроме единицы и девятки, а из четных - только “два”. Сами десятки (10, 20,... 40 и др.) не являются простыми. Двузначные, трехзначные и т. д. простые числа можно определить, исходя из вышеизложенных принципов: если они не имеют других делителей, кроме их самих и единицы.
Теории о свойствах простых чисел
Существует наука, которая изучает свойства целых чисел, в том числе и простых. Это раздел математики, которая называется высшей. Помимо свойств целых чисел, она также занимается алгебраическими, трансцендентными числами, а также функциями различного происхождения, связанными с арифметикой этих чисел. В этих исследованиях, помимо элементарных и алгебраических методов, также используются аналитические и геометрические. Конкретно изучением простых чисел занимается “Теория чисел”.
Простые числа — “строительные блоки” натуральных чисел
В арифметике есть теорема, которая называется основной. Согласно ей, любое натуральное число, кроме единицы, можно представить в виде произведения, множителями которого являются простые числа, причем порядок следования множителей единственен, этот означает, что и способ представления единственен. Он называется разложением натурального числа на простые множители. Есть и другое название этого процесса - факторизация чисел. Исходя из этого, простые числа можно назвать “строительным материалом”, "блоками" для построения натуральных чисел.
Поиск простых чисел. Тесты простоты
Множество ученых разных времен пытались найти какие-то принципы (системы) для нахождения списка простых чисел. Науке известны системы, которые называются решето Аткина, решето Сундартама, решето Эратосфена. Однако они не дают каких-то существенных результатов, и для нахождения простых чисел используется простая проверка. Также математиками были созданы алгоритмы. Их принято называть тестами простоты. Например, существует тест, разработанный Рабином и Миллером. Его используют криптографы. Также существует тест Каяла-Агравала- Саскены. Однако он, несмотря на достаточную точность, очень сложен в вычислении, что принижает его прикладное значение.
Имеет ли множество простых чисел предел?
О том, что множество простых является бесконечностью, писал в книге “Начала” древнегреческий ученый Евклид. Он говорил так: “Давайте на минуту представим, что простые числа имеют предел. Тогда давайте перемножим их друг с другом, а к произведению прибавим единицу. Число, полученное в результате этих простых действий, не может делиться ни на одно из ряда простых чисел, потому что в остатке всегда будет единица. А это значит, что существует какое-то другое число, которое еще не включено в список простых чисел. Следовательно, наше допущение не верно, и это множество не может иметь предела. Помимо доказательства Евклида, существует более современная формула, данная швейцарским математиком восемнадцатого века Леонардом Эйлером. Согласно ему, сумма, обратная сумме первых n чисел растет неограниченно с ростом числа n. А вот формула теоремы относительно распределения простых чисел: (n) растёт, как n/ln (n).
Какое наибольшее простое число?
Все тот же Леонард Эйлер смог найти самое большое для своего времени простое число. Это 2 31 - 1 = 2147483647. Однако к 2013 году было вычислено другое наиболее точное самое большое в списке простых чисел - 2 57885161 - 1. Его называют числом Мерсенна. Оно содержит около 17 миллионов десятичных цифр. Как видите, число, найденное ученым из восемнадцатого века, в несколько раз меньше этого. Так и должно было быть, ведь Эйлер вел данный подсчет вручную, нашему же современнику наверняка помогала вычислительная машина. Более того, это число было получено на факультете математики в одном из американских факультетов. Числа, названные в честь этого ученого, проходят через тест простоты Люка-Лемера. Однако наука не желает останавливаться на достигнутом. Фонд Электронных рубежей, который был основан в 1990 году в Соединенных Штатах Америки (EFF), назначил за нахождение больших простых чисел денежную награду. И если до 2013 года приз полагался тем ученным, которые найдут их из числа 1 и 10 миллионов десятичных чисел, то сегодня это цифра достигла от 100 миллионов до 1 миллиарда. Размер призов составляет от 150 до 250 тысяч долларов США.
Названия специальных простых чисел
Те числа, которые были найдены благодаря алгоритмам, созданным теми или иными учеными, и прошли тест простоты, называются специальными. Вот некоторые из них:
1. Мерссена.
4. Каллена.
6. Миллса и др.
Простота этих чисел, названных в честь вышеперечисленных ученых, устанавливается с использованием следующих тестов:
1. Люка-Лемера.
2. Пепина.
3. Ризеля.
4. Биллхарта - Лемера - Селфриджа и др.
Современная наука не останавливается на достигнутом, и, вероятно, в ближайшем будущем мир узнает имена тех, кто смог получить приз в 250.000 долларов, найдя наибольшее простое число.
Все остальные натуральные числа называются составными . Натуральное число 1 не является ни простым, ни составным.
Пример
Задание. Какие из записанных ниже натуральных чисел являются простыми:
Ответ.
Разложение числа на множители
Представление натурального числа в виде произведения натуральных чисел называется разложением на множители . Если в разложении на множители натурального числа все множители простые числа, то такое разложение называется разложением на простые множители .
Теорема
(Основная теорема арифметики)
Каждое натуральное число, отличное от 1, может быть разложено на простые множители, и притом единственным образом (если отождествлять разложения и , где и - простые числа).
Объединяя в разложении числа одинаковые простые сомножители, получаем так называемое каноническое разложение числа :
где , - различные простые числа, а - натуральные числа.
Пример
Задание. Найти каноническое разложение чисел:
Решение. Для нахождения канонического разложения чисел нужно сначала разложить их на простые множители, а затем объединить одинаковые множители и записать их произведение в виде степени с натуральным показателем:
Ответ.
Историческая справка
Как определить, какое число простое, а какое нет? Наиболее распространенным методом позволяющим найти все простые числа в любом числовом отрезке, предложил в III в. до н. э. Эратосфен (метод называется "решето Эратосфена"). Предположим, что нам нужно установить, какие из чисел являются простыми. Выпишем их в ряд и вычеркнем каждое второе число из следующих за числом 2 - все они составные, так как кратны числу 2. Первое из оставшихся невычеркнутых чисел - 3 - является простым. Вычеркнем каждое третье число из следующих за числом 3; следующее из невычеркнутых чисел - 5 - также будет простым. По тому же принципу вычеркнем каждое пятое число из следующих за числом 5 и вообще каждое -е из следующих за числом . Все оставшиеся невычеркнутыми числа будут простыми.
С увеличением простые числа постепенно встречаются все реже и реже. Однако уже древним был хорошо известен тот факт, что их бесконечно много. Его доказательство приводится в "Началах" Евклида.
Определение 1. Простое число − это натуральное число больше единицы, которое делится только на себя и на 1.
Другими словами число является простым, если имеет только два различных натуральных делителя.
Определение 2. Любое натуральное число, которое кроме самого себя и единицы имеет и других делителей, называется составным числом.
Другими словами натуральные числа, не являющиеся простыми числами, называются составными. Из определения 1 следует, что составное число имеет больше двух натуральных делителей. Число 1 не является ни простым, ни составным т.к. имеет только один делитель 1 и, кроме этого многие теоремы относительно простых чисел не имеют места для единицы.
Из определений 1 и 2 следует, что каждое целое положительное число больше 1 является либо простым, либо составным числом.
Ниже представлена программа для отображения простых чисел до 5000. Заполните ячейки, нажмите на кнопку "Создать" и подождите несколько секунд.
Таблица простых чисел
Утверждение 1. Если p - простое число и a любое целое число, то либо a делится на p , либо p и a взаимно простые числа.
Действительно. Если p простое число, то оно делится только на себя и на 1, если a не делится на p , то наибольший общий делитель a и p равен 1. Тогда p и a взаимно простые числа.
Утверждение 2. Если произведение нескольких чисел чисел a 1 , a 2 , a 3 , ... делится на простое число p , то по крайней мере одно из чисел a 1 , a 2 , a 3 , ... делится на p .
Действительно. Если бы ни одно из чисел не делилось на p , то числа a 1 , a 2 , a 3 , ... были бы взаимно простые числа по отношению p . Но из следствия 3 () следует, что их произведение a 1 , a 2 , a 3 , ... также взаимно простое по отношению к p , что противоречит условию утверждения. Следовательно по крайней мере один из чисел делится на p .
Теорема 1. Любое составное число всегда может быть представлено и притом единственным способом в виде произведения конечного числа простых чисел.
Доказательство. Пусть k составное число, и пусть a 1 один из его делителей отличное от 1 и самого себя. Если a 1 составное, то имеет кроме 1 и a 1 и другой делитель a 2 . Если a 2 число составное, то имеет кроме 1 и a 2 и другой делитель a 3 . Рассуждая таким образом и учитывая, что числа a 1 , a 2 , a 3 , ... убывают и этот ряд содержит конечное число членов, мы дойдем какого-то простого числа p 1 . Тогда k можно представить в виде
Допустим существует два разложения числа k :
Так как k=p 1 p 2 p 3 ... делится на простое число q 1 , то по крайней мере один из множителей, например p 1 делится на q 1 . Но p 1 простое число и делится только на 1 и на себя. Следовательно p 1 =q 1 (т.к. q 1 ≠1)
Тогда из (2) можно исключить p 1 и q 1:
Таким образом убеждаемся, что всякое простое число входящее множителем в первое разложение один или несколько раз, входит и во второе разложение минимум столько же раз и наоборот, всякое простое число, которое входит множителем во второе разложение один или несколько раз входит и в первое разложение минимум столько же раз. Следовательно любое простое число входит множителем в оба разложения одинаковое число раз и, таким образом, эти два разложения одинаковы.■
Разложение составного числа k можно записать в следующем виде
| (3) |
где p 1 , p 2 , ... различные простые числа, α, β, γ ... целые положительные числа.
Разложение (3) называется каноническим разложением числа.
Простые числа в ряду натуральных чисел встречаются неравномерно. В одних частях ряда их больше, в других - меньше. Чем дальше мы продвигаемся по числовому ряду, тем реже встречаются простые числа. Возникает вопрос, существует ли самое большое простое число? Древнегреческий математик Евклид доказал, что простых чисел бесконечно много. Ниже мы представим это доказательство.
Теорема 2. Количество простых чисел бесконечно много.
Доказательство. Предположим, что существует конечное число простых чисел, и пусть наибольшее простое число равно p . Рассмотрим все числа больше p . По предположению утверждения эти числа должны быть составными и должны делится по крайней мере на один из простых чисел. Выберем число, являющиеся произведением всех этих простых чисел плюс 1:
Число z больше p так как 2p уже больше p . p не делится ни на одно из этих простых чисел, т.к. при делении на каждое из них дает остаток 1. Таким образом мы приходим к противоречию. Следовательно существует бесчисленное множество простых чисел.
Данная теорема является частным случаем более общей теоремы:
Теорема 3. Пусть задана арифметическая прогрессия
Тогда любое простое число, входящее в n , должно входить и в m , поэтому в n не могут входить другие простые множители, которые не входят в m и притом эти простые множители в n входят не более число раз, чем в m .
Справедливо и обратное. Если каждый простой множитель числа n входит по крайней мере столько же раз в число m , то m делится на n .
Утверждение 3. Пусть a 1 ,a 2 ,a 3 ,... различные простые числа входящие в m так, что
где i =0,1,...α , j =0,1,...,β , k=0,1,...,γ . Заметим, что α i принимает α +1 значений, β j принимает β +1 значений, γ k принимает γ +1 значений, ... .
В статье рассматриваются понятия простых и составных чисел. Даются определения таких чисел с примерами. Приводим доказательство того, что количество простых чисел неограниченно и произведем запись в таблицу простых чисел при помощи метода Эратосфена. Будут приведены доказательства того, является ли число простым или составным.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Простые и составные числа – определения и примеры
Простые и составные числа относят к целым положительным. Они обязательно должны быть больше единицы. Делители также подразделяют на простые и составные. Чтобы понимать понятие составных чисел, необходимо предварительно изучить понятия делителей и кратных.
Определение 1
Простыми числами называют целые числа, которые больше единицы и имеют два положительных делителя, то есть себя и 1 .
Определение 2
Составными числами называют целые числа, которые больше единицы и имеют хотя бы три положительных делителя.
Единица не является ни простым ни составным числом. Она имеет только один положительный делитель, поэтому отличается от всех других положительных чисел. Все целые положительные числа называют натуральными, то есть используемые при счете.
Определение 3
Простые числа – это натуральные числа, имеющие только два положительных делителя.
Определение 4
Составное число – это натуральное число, имеющее более двух положительных делителей.
Любое число, которое больше 1 является либо простым, либо составным. Из свойства делимости имеем, что 1 и число а всегда будут делителями для любого числа а, то есть оно будет делиться само на себя и на 1 . Дадим определение целых чисел.
Определение 5
Натуральные числа, которые не являются простыми, называют составными.
Простые числа: 2 , 3 , 11 , 17 , 131 , 523 . Они делятся только сами на себя и на 1 . Составные числа: 6 , 63 , 121 , 6697 . То есть число 6 можно разложить на 2 и 3 , а 63 на 1 , 3 , 7 , 9 , 21 , 63 , а 121 на 11 , 11 , то есть его делители будут 1 , 11 , 121 . Число 6697 разложится на 37 и 181 . Заметим, что понятия простых чисел и взаимно простых чисел – разные понятия.
Для того, чтобы было проще использовать простые числа, необходимо использовать таблицу:
Таблица для всех существующих натуральных чисел нереальна, так как их существует бесконечное множество. Когда числа достигают размеров 10000 или 1000000000 , тогда следует задуматься об использовании решета Эратосфена.
Рассмотрим теорему, которая объясняет последнее утверждение.
Теорема 1
Наименьший положительный и отличный от 1 делитель натурального числа, большего единицы, является простым числом.
Доказательство 1
Возьмем, что а является натуральным числом, которое больше 1 , b является наименьшим отличным от единицы делителем для числа а. Следует доказать, что b является простым числом при помощи метода противного.
Допустим, что b – составное число. Отсюда имеем, что есть делитель для b , который отличен от 1 как и от b . Такой делитель обозначается как b 1 . Необходимо, чтобы условие 1 < b 1 < b было выполнено.
Из условия видно, что а делится на b , b делится на b 1 , значит, понятие делимости выражается таким образом: a = b · q и b = b 1 · q 1 , откуда a = b 1 · (q 1 · q) , где q и q 1 являются целыми числами. По правилу умножения целых чисел имеем, что произведение целых чисел – целое число с равенством вида a = b 1 · (q 1 · q) . Видно, что b 1 – это делитель для числа а. Неравенство 1 < b 1 < b не соответствует, потому как получим, что b является наименьшим положительным и отличным от 1 делителем а.
Теорема 2
Простых чисел бесконечно много.
Доказательство 2
Предположительно возьмем конечное количество натуральных чисел n и обозначим как p 1 , p 2 , … , p n . Рассмотрим вариант нахождения простого числа, отличного от указанных.
Примем на рассмотрение число р, которое равняется p 1 , p 2 , … , p n + 1 . Оно не равняется каждому из чисел, соответствующих простым числам вида p 1 , p 2 , … , p n . Число р является простым. Тогда считается, что теорема доказана. Если оно составное, тогда нужно принять обозначение p n + 1 и показать несовпадение делителя ни с одним из p 1 , p 2 , … , p n .
Если это было бы не так, тогда, исходя из свойства делимости произведения p 1 , p 2 , … , p n , получим, что оно делилось бы на p n + 1 . Заметим, что на выражение p n + 1 делится число р равняется сумме p 1 , p 2 , … , p n + 1 . Получим, что на выражение p n + 1 должно делиться второе слагаемое этой суммы, которое равняется 1 , но это невозможно.
Видно, что может быть найдено любое простое число среди любого количества заданных простых чисел. Отсюда следует, что простых чисел бесконечно много.
Так как простых чисел очень много, то таблицы ограничивают числами 100 , 1000 , 10000 и так далее.
При составлении таблицы простых чисел следует учитывать то, что для такой задачи необходима последовательная проверка чисел, начиная с 2 до 100 . При отсутствии делителя оно фиксируется в таблицу, если оно составное, то в таблицу не заносится.
Рассмотрим пошагово.
Если начать с числа 2 , то оно имеет только 2 делителя: 2 и 1, значит, его можно занести в таблицу. Также и с числом 3 . Число 4 является составным, следует разложить его еще на 2 и 2 . Число 5 является простым, значит, можно зафиксировать в таблице. Так выполнять вплоть до числа 100 .
Данный способ неудобный и долгий. Таблицу составить можно, но придется потратить большое количество времени. Необходимо использовать признаки делимости, которые ускорят процесс нахождения делителей.
Способ при помощи решета Эратосфена считают самым удобным. Рассмотрим на примере таблиц, приведенных ниже. Для начала записываются числа 2 , 3 , 4 , … , 50 .
Теперь необходимо зачеркнуть все числа, которые кратны 2 . Произвести последовательное зачеркивание. Получим таблицу вида:
Переходим к вычеркиванию чисел, кратных 5 . Получим:
Вычеркиваем числа, кратные 7 , 11 . В конечном итоге таблица получает вид
Перейдем к формулировке теоремы.
Теорема 3
Наименьший положительный и отличный от 1 делитель основного числа а не превосходит a , где a является арифметическим корнем заданного числа.
Доказательство 3
Необходимо обозначить b наименьший делитель составного числа а. Существует такое целое число q , где a = b · q , причем имеем, что b ≤ q . Недопустимо неравенство вида b > q , так как происходит нарушение условия. Обе части неравенства b ≤ q следует умножить на любое положительное число b , не равное 1 . Получаем, что b · b ≤ b · q , где b 2 ≤ a и b ≤ a .
Из доказанной теоремы видно, что вычеркивание чисел в таблице приводит к тому, что необходимо начинать с числа, которое равняется b 2 и удовлетворяет неравенству b 2 ≤ a . То есть, если вычеркнуть числа, кратные 2 , то процесс начинается с 4 , а кратных 3 – с 9 и так далее до 100 .
Составление такой таблицы при помощи теоремы Эратосфена говорит о том, что при вычеркивании всех составных чисел, останутся простые, которые не превосходят n . В примере, где n = 50 , у нас имеется, что n = 50 . Отсюда и получаем, что решето Эратосфена отсеивает все составные числа, которые по значению не больше значения корня из 50 . Поиск чисел производится при помощи вычеркивания.
Перед решением необходимо выяснять, является ли число простым или составным. Зачастую используются признаки делимости. Рассмотрим это на ниже приведенных примере.
Пример 1
Доказать что число 898989898989898989 является составным.
Решение
Сумма цифр заданного числа равняется 9 · 8 + 9 · 9 = 9 · 17 . Значит, число 9 · 17 делится на 9 , исходя из признака делимости на 9 . Отсюда следует, что оно составное.
Такие признаки не способны доказать простоту числа. Если нужна проверка, следует производить другие действия. Самый подходящий способ – это перебор чисел. В течение процесса можно найти простые и составные числа. То есть числа по значению не должны превосходить a . То есть число а необходимо разложить на простые множители. если это будет выполнено, тогда число а можно считать простым.
Пример 2
Определить составное или простое число 11723 .
Решение
Теперь необходимо найти все делители для числа 11723 . Необходимо оценить 11723 .
Отсюда видим, что 11723 < 200 , то 200 2 = 40 000 , а 11 723 < 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .
Для более точной оценки числа 11723 необходимо записать выражение 108 2 = 11 664 , а 109 2 = 11 881 , то 108 2 < 11 723 < 109 2 . Отсюда следует, что 11723 < 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.
При разложении получим, что 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 – это все простые числа. Весь данный процесс можно изобразить как деление столбиком. То есть разделить 11723 на 19 . Число 19 является одним из его множителей, так как получим деление без остатка. Изобразим деление столбиком:
Отсюда следует, что 11723 является составным числом, потому как кроме себя и 1 имеет делитель 19 .
Ответ: 11723 является составным числом.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Простые числа представляют собой одно из самых интересных математических явлений, которое привлекает к себе внимание ученых и простых граждан на протяжении уже более двух тысячелетий. Несмотря на то, что сейчас мы живем в век компьютеров и самых современных информационных программ, многие загадки простых чисел не решены до сих пор, есть даже такие, к которым ученые не знают, как подступиться.
Простые числа - это, как известно еще из курса элементарной арифметики, те которые делятся без остатка только на единицу и самое себя. Кстати, если натуральное число делится, кроме выше перечисленных, еще на какое-либо число, то оно именуется составным. Одна из самых знаменитых теорем гласит, что любое составное число может быть представлено в виде единственно возможного произведения простых чисел.
Несколько любопытных фактов. Во-первых, единица является уникальной в том плане, что, по сути, не принадлежит ни к простым, ни к составным числам. В то же время в научной среде все же принято относить ее именно к первой группе, так как формально она полностью удовлетворяет ее требованиям.
Во-вторых, единственным четным числом, затесавшимся в группу «простые числа» является, естественно, двойка. Любое другое четное число сюда попасть попросту не может, так как уже по определению, кроме себя и единицы, делится еще и на два.
Простые числа, список которых, как было указано выше, можно начинать с единицы, представляют собой бесконечный ряд, такой же бесконечный, как и ряд натуральных чисел. Опираясь на основную теорему арифметики, можно прийти к выводу, что простые числа никогда не прерываются и никогда не заканчиваются, так как в противном случае неизбежно прервался бы и ряд натуральных чисел.
Простые числа не появляются в натуральном ряду беспорядочно, как это может показаться на первый взгляд. Внимательно проанализировав их, можно сразу заметить несколько особенностей, наиболее любопытные из которых связаны с так называемыми числами-«близнецами». Называют их так потому, что каким-то непостижимым образом они оказались по соседству друг с другом, разделенные только четным разграничителем (пять и семь, семнадцать и девятнадцать).
Если внимательно к ним присмотреться, то можно заметить, что сумма этих чисел всегда кратна трем. Более того, при делении на тройку левого собрата в остатке всегда остается двойка, а правого - единица. Кроме того, само распределение этих чисел по натуральному ряду можно спрогнозировать, если представить весь этот ряд в виде колебательных синусоид, основные точки которых образуются при делении чисел на три и два.
Простые числа являются не только объектом пристального рассмотрения со стороны математиков всего мира, но уже давно и успешно используются в составлении различных рядов чисел, что является основой, в том числе, для шифрографии. При этом следует признать, что огромное количество загадок, связанных с этими замечательными элементами, все еще ждут своих разгадок, многие вопросы имеют не только философское, но и практичное значение.
