Что такое параллелепипед. Параллелепипед и куб
Материал урока.
Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте вспомним, какую фигуру мы назвали параллелепипедом, основные свойства параллелепипеда.
Напомним, что параллелепипедом мы назвали поверхность, составленную из двух равных параллелограммов ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 и четырех параллелограммов ABB 1 A 1 , BCC1B 1 , CDD 1 C 1 , DAA 1 D 1 .
Повторим свойства параллелепипеда. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны. Например, в параллелепипеде, который показан на рисунке грань ABCD равна и параллельна грани A 1 B 1 C 1 D 1 , грань AA 1 B 1 B равна и параллельна грани DD 1 C 1 D, грань AA 1 D 1 D равна и параллельна грани BB 1 C 1 C.
Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Эти свойства мы уже доказывали.
Когда мы изучали тему «Параллелепипед», мы говорили, что, если все боковые ребра параллелепипеда перпендикулярны к плоскостям его оснований, т. е. боковые грани – прямоугольники, то такой параллелепипед называется прямым. Если же и основаниями прямого параллелепипеда служат прямоугольники, то такой параллелепипед называется прямоугольным.
Сегодня на уроке мы познакомимся с прямоугольным параллелепипедом поближе.
Форму прямоугольного параллелепипеда имеют многие предметы.
Давайте посмотрим на рисунок.
Основаниями этого прямоугольного параллелепипеда служат прямоугольники ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 , боковые рёбра AA 1 , BB 1 , CC 1 , DD 1 перпендикулярны к основаниям. То есть можно записать, что AA 1 перпендикулярно AB, то есть боковая грань AA 1 B 1 B – прямоугольник. Аналогично, можно показать, что все боковые грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками. Таким образом, мы обосновали свойство прямоугольного параллелепипеда.
Сформулируем его. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней – прямоугольники.
Полуплоскости, в которых расположены смежные грани параллелепипеда, образуют двугранные углы, которые называются двугранными углами параллелепипеда.
Рассмотрим, например, двугранный угол с ребром AB, то есть двугранный угол между плоскостями ABB 1 и ABC.
По другому этот угол можно записать так: угол A 1 ABD.
Возьмем на ребре AB, например, точку А. AA 1 – перпендикуляр к ребру AB в плоскости ABB 1 , АD– перпендикуляр к ребру АB в плоскости ABC. Значит, угол A 1 AD – линейный угол двугранного угла. Это прямой угол, значит, двугранный угол при ребре AB – прямой.
Аналогично доказывается, что любые двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые. Это утверждение является еще одним свойством прямоугольного параллелепипеда.
Длины трех ребер, имеющих общую вершину, назовем измерениями прямоугольного параллелепипеда. Например, у параллелепипеда, который изображен на рисунке в качестве измерений можно взять длины ребер AB, АD и AA 1 .
Понятно, что если мы говорим, например, о размерах коробки, которая имеет форму прямоугольного параллелепипеда, то мы вместо слова измерения используем слова: длина, ширина и высота.
Давайте вспомним, что в прямоугольнике квадрат диагонали равен сумме квадратов смежных сторон. Длины смежных сторон можно назвать измерениями прямоугольника. Тогда это утверждение можно переформулировать так: квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его измерений.
Аналогичным свойством обладает и прямоугольный параллелепипед.
Сформулируем теорему. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений .
Пусть дан прямоугольный параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Тогда нам надо доказать, что, например, .
Доказательство.
Поскольку параллелепипед прямоугольный, то ребро CC 1 перпендикулярно к основанию ABCD. А, значит, угол ACC 1 – прямой.
Рассмотрим
треугольник ACC 1 . Это прямоугольный
треугольник, значит, по теореме Пифагора можно записать, что 
.
AC
– диагональ прямоугольника ABCD. Значит, по свойству
диагоналей прямоугольника можно записать, что 
. Кроме
того, мы знаем, что ребро CC 1 равно AA 1 . Тогда подставив все в выражение для , получим,
что .
Что и требовалось доказать.
Теперь давайте сформулируем и докажем следствие из этой теоремы.
Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
Это следствие легко доказать, если мы посмотрим на доказательство теоремы. Мы могли взять вместо диагонали AC 1 , например, диагональ CA 1 или диагонали BD 1 или DB 1 , но мы бы получили то же самое выражение.
Если мы обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда буквами a, b, c, тогда можно записать, что .
Если все измерения прямоугольного параллелепипеда равны, то такой прямоугольный параллелепипед называется кубом.
Поскольку все измерения куба равны, значит, все грани куба – квадраты.
Решим несколько задач.
Задача. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны . Найти длины диагоналей прямоугольного параллелепипеда.
Решение.
Воспользуемся следствием из теоремы и запишем, что все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
Теперь применим теорему и запишем, что диагонали равны корню квадратному из суммы квадратов измерений прямоугольного параллелепипеда.
Поскольку мы знаем, что все диагонали параллелепипеда равны, при решении задач мы будем изображать только одну диагональ параллелепипеда, если условие задачи не потребует изобразить больше диагоналей.
Ответ.
Решим еще одну задачу.
Задача. В прямоугольном параллелепипеде измерения равны , , . Найти диагональ параллелепипеда и синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.
Решение.
А теперь давайте решим одну задачу, которую очень часто решают люди, которые делают ремонт.
Задача. Измерения комнаты равны , , . Подсчитать площадь пола, потолка, и стен комнаты.
Решение.
Каждая из граней прямоугольного параллелепипеда – прямоугольник. Для того, чтобы найти площадь каждой грани, достаточно перемножить соответствующие измерения каждого прямоугольника.
Ответ. 20м 2 ; 15 м 2 ; 12 м 2
Решим еще одну задачу.
Задача. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна , а два измерения равны соответственно и . Найти третье измерение прямоугольного параллелепипеда.
Решение.
Запишем формулу, связывающую квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда и квадраты измерений прямоугольного параллелепипеда.
(Очевидно, что измерение прямоугольного параллелепипеда не может быть отрицательным числом).
Ответ. 4
Решим еще одну задачу.
Задача.
Диагональ
прямоугольного параллелепипеда равна ,
, 
. Найти
третье измерение прямоугольного параллелепипеда.
На этом уроке все желающие смогут изучить тему «Прямоугольный параллелепипед». В начале урока мы повторим, что такое произвольный и прямой параллелепипеды, вспомним свойства их противоположных граней и диагоналей параллелепипеда. Затем рассмотрим, что такое прямоугольный параллелепипед, и обсудим его основные свойства.
Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей
Урок: Прямоугольный параллелепипед
Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов АВСD и А 1 В 1 С 1 D 1 и четырех параллелограммов АВВ 1 А 1 , ВСС 1 В 1 , СDD 1 С 1 , DАА 1 D 1 , называется параллелепипедом (рис. 1).
Рис. 1 Параллелепипед
То есть: имеем два равных параллелограмма АВСD и А 1 В 1 С 1 D 1 (основания), они лежат в параллельных плоскостях так, что боковые ребра АА 1 , ВВ 1 , DD 1 , СС 1 параллельны. Таким образом, составленная из параллелограммов поверхность называется параллелепипедом .
Таким образом, поверхность параллелепипеда - это сумма всех параллелограммов, из которых составлен параллелепипед.
1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
(фигуры равны, то есть их можно совместить наложением)
Например:
АВСD = А 1 В 1 С 1 D 1 (равные параллелограммы по определению),
АА 1 В 1 В = DD 1 С 1 С (так как АА 1 В 1 В и DD 1 С 1 С - противоположные грани параллелепипеда),
АА 1 D 1 D = ВВ 1 С 1 С (так как АА 1 D 1 D и ВВ 1 С 1 С - противоположные грани параллелепипеда).
2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Диагонали параллелепипеда АС 1 , В 1 D, А 1 С, D 1 В пересекаются в одной точке О, и каждая диагональ делится этой точкой пополам (рис. 2).
Рис. 2 Диагонали параллелепипеда пересекаются и деляться точкой пересечения пополам.
3. Имеются три четверки равных и параллельных ребер параллелепипеда : 1 - АВ, А 1 В 1 , D 1 C 1 , DC, 2 - AD, A 1 D 1 , B 1 C 1 , BC, 3 - АА 1 , ВВ 1 , СС 1 , DD 1 .
Определение. Параллелепипед называется прямым, если его боковые ребра перпендикулярны основаниям.
Пусть боковое ребро АА 1 перпендикулярно основанию (рис. 3). Это означает, что прямая АА 1 перпендикулярна прямым АD и АВ, которые лежат в плоскости основания. А, значит, в боковых гранях лежат прямоугольники. А в основаниях лежат произвольные параллелограммы. Обозначим, ∠BAD = φ, угол φ может быть любым.
Рис. 3 Прямой параллелепипед
Итак, прямой параллелепипед - это параллелепипед, в котором боковые ребра перпендикулярны основаниям параллелепипеда.
Определение. Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию. Основания являются прямоугольниками.
Параллелепипед АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 - прямоугольный (рис. 4), если:
1. АА 1 ⊥ АВСD (боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то есть параллелепипед прямой).
2. ∠ВАD = 90°, т. е. в основании лежит прямоугольник.
Рис. 4 Прямоугольный параллелепипед
Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда. Но есть дополнительные свойства, которые выводятся из определения прямоугольного параллелепипеда.
Итак, прямоугольный параллелепипед - это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию. Основание прямоугольного параллелепипеда - прямоугольник .
1. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники.
АВСD и А 1 В 1 С 1 D 1 - прямоугольники по определению.
2. Боковые ребра перпендикулярны основанию . Значит, все боковые грани прямоугольного параллелепипеда - прямоугольники.
3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.
Рассмотрим, например, двугранный угол прямоугольного параллелепипеда с ребром АВ, т. е. двугранный угол между плоскостями АВВ 1 и АВС.
АВ - ребро, точка А 1 лежит в одной плоскости - в плоскости АВВ 1 , а точка D в другой - в плоскости А 1 В 1 С 1 D 1 . Тогда рассматриваемый двугранный угол можно еще обозначить следующим образом: ∠А 1 АВD.
Возьмем точку А на ребре АВ. АА 1 - перпендикуляр к ребру АВ в плоскости АВВ- 1 , AD перпендикуляр к ребру АВ в плоскости АВС. Значит, ∠А 1 АD - линейный угол данного двугранного угла. ∠А 1 АD = 90°, значит, двугранный угол при ребре АВ равен 90°.
∠(АВВ 1 , АВС) = ∠(АВ) = ∠А 1 АВD= ∠А 1 АD = 90°.
Аналогично доказывается, что любые двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.
Примечание. Длины трех ребер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда, являются измерениями прямоугольного параллелепипеда. Их иногда называют длина, ширина, высота.
Дано: АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 - прямоугольный параллелепипед (рис. 5).
Доказать: .
Рис. 5 Прямоугольный параллелепипед
Доказательство:
Прямая СС 1 перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямой АС. Значит, треугольник СС 1 А - прямоугольный. По теореме Пифагора:
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. По теореме Пифагора:
Но ВС и AD - противоположные стороны прямоугольника. Значит, ВС = AD. Тогда:
Так как , а , то. Поскольку СС 1 = АА 1 , то что и требовалось доказать.
Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
Обозначим измерения параллелепипеда АВС как a, b, c (см. рис. 6), тогда АС 1 = СА 1 = В 1 D = DВ 1 =
Учащимся старших классов будет полезно научиться решать задачи ЕГЭ на нахождение объема и других неизвестных параметров прямоугольного параллелепипеда. Опыт предыдущих лет подтверждает тот факт, что подобные задания являются для многих выпускников достаточно сложными.
При этом понимать, как найти объем или площадь прямоугольного параллелепипеда, должны старшеклассники с любым уровнем подготовки. Только в этом случае они смогут рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи единого госэкзамена по математике.
Основные нюансы, которые стоит запомнить
- Параллелограммы, из которых состоит параллелепипед, являются его гранями, их стороны - ребрами. Вершины этих фигур считаются вершинами самого многогранника.
- Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Так как это прямой многогранник, то боковые грани представляют собой прямоугольники.
- Так как параллелепипед - это призма, в основании которой находится параллелограмм, эта фигура обладает всеми свойствами призмы.
- Боковые ребра прямоугольного параллелепипеда перпендикулярны основанию. Следовательно, они являются его высотами.
Готовьтесь к ЕГЭ вместе со «Школково»!
Чтобы занятия проходили легко и максимально эффективно, выбирайте наш математический портал. Здесь вы найдете весь необходимый материал, который потребуется на этапе подготовки к единому государственному экзамену.
Специалисты образовательного проекта «Школково» предлагают пойти от простого к сложному: сначала мы даем теорию, основные формулы и элементарные задачи с решением, а затем постепенно переходим к заданиям экспертного уровня. Вы можете потренироваться, например, с .
Нужную базовую информацию вы найдете в разделе «Теоретическая справка». Вы также можете сразу приступить к решению задач по теме «Прямоугольный параллелепипед» в онлайн-режиме. В разделе «Каталог» представлена большая подборка упражнений разной степени сложности. База заданий регулярно пополняется.
Проверьте, легко ли вы сможете найти объем прямоугольного параллелепипеда, прямо сейчас. Разберите любое задание. Если упражнение дается вам легко, переходите к более сложным задачам. А если возникли определенные сложности, рекомендуем вам планировать свой день таким образом, чтобы ваше расписание включало занятия с дистанционным порталом «Школково».
Ранее мы с вами уже познакомились с параллелепипедом. Напомню, что параллелепипед – это четырехугольная призма, основаниями которой являются параллелограммы.
Выяснили, что если все боковые ребра параллелепипеда перпендикулярны к плоскостям его оснований, т. е. боковые грани – прямоугольники, то такой параллелепипед называется прямым. Если параллелепипед не является прямым, т.е. если все его боковые ребра не перпендикулярны к плоскостям оснований, то он называется наклонным . Если же и основаниями прямого параллелепипеда служат прямоугольники, то такой параллелепипед называется прямоугольным.
А также узнали, что параллелепипед обладает следующими свойствами:
1) противолежащие грани параллелепипеда равны и лежат в параллельных плоскостях.
2) диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Сегодня мы подробней рассмотрим прямоугольный параллелепипед и выясним, какими свойствами он обладает.
Давайте представим себе комнату, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда. Если говорить о ее размерах, то обычно употребляют слова «длина», «ширина» и «высота». Имея в виду длины трех ребер с общей вершиной. В геометрии эти три величины объединяются общим названием: измерения прямоугольного параллелепипеда.
На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .
В качестве его измерений можно взять, например, длины ребер DA, DC и DD 1 , все эти ребра имеют общую вершину D.
Как вы уже знаете у прямоугольника два измерения – длина и ширина.
При этом напомню, 
.
Оказывается, что аналогичным свойством обладает и прямоугольный параллелепипед: квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.
Рассмотрим прямоугольный параллелепипед 
. И
докажем, что 
–
диагональ параллелепипеда, а, b и c
– ребра, имеющие общую вершину.
Пусть , , .
,
– прямоугольник.
Из по теореме Пифагора имеем .
Замечание. Данное утверждение называют пространственной теоремой Пифагора.
Рассмотрим еще одно свойство, иллюстрирующее аналогию между прямоугольником и прямоугольным параллелепипедом. Мы знаем, что площадь прямоугольника равна произведению его измерений.
Оказывается, что аналогичное утверждение справедливо и для прямоугольного параллелепипеда: объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.
Для доказательства этого утверждения воспользуемся принципом Кавальери.
Рассмотрим сначала прямоугольный параллелепипед с измерениями а, b, 1 и куб с ребром 1, «стоящие» на плоскости α. Этот куб является единицей измерения объемов, т.е. его объем равен 1. Любая секущая плоскость, параллельная плоскости α, дает в качестве сечения куба квадрат площади равной 1, а в качестве сечения рассматриваемого параллелепипеда – прямоугольник площади равной произведению ab. Следовательно, согласно принципу Кавальери, объем этого параллелепипеда в а на b раз больше объема куба, т.е. равен ab.
Рассмотрим теперь два прямоугольных параллелепипеда: один с измерениями а, b, 1, а другой – с измерениями а, b, c, «стоящие» на плоскости α так, как показано на рисунке. Объем первого параллелепипеда, как было доказано, равен ab. Докажем, что объем второго параллелепипеда равен abc.
Любая секущая плоскость, параллельная плоскости α, дает в
качестве сечения первого параллелепипеда прямоугольник площади равной , а в
качестве сечения второго – прямоугольник площади равной произведению .
Поэтому объем второго параллелепипеда в c раз больше
объема первого и, следовательно, равен 
. Что
и требовалось доказать.
В прямоугольном параллелепипеде с измерениями а, b,
c, изображенном на рисунке, площадь , а
высота .
Поэтому формулу можно записать в виде 
,
т.е. объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания
на высоту.
Оказывается, что такая же формула имеет место для любой призмы: объем призмы равен произведению площади основания на высоту.
Задача.
прямоугольный
параллелепипед. Определите чему равна диагональ ,
если параллелепипед имеет измерения см,
см
и см.
Решение.
Напомню, что квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.
Цели урока:
1) Обучающая : формировать представления о прямоугольном параллелепипеде и кубе, о свойствах граней и ребер прямоугольного параллелепипеда, куба; ввести понятия грань, вершина, ребро, измерения, развертка.
2) Развивающая : создать условия для развития пространственного мышления; развивать умения сравнения и обобщения.
3) Воспитывающая : содействовать воспитанию интереса к математике и развитию культуры речи.
Тип урока : изучение нового материала с первичным закреплением.
План урока:
1. Организационный этап.
2. Актуализация опорных знаний.
3. Этап получения новых знаний.
4. Этап обобщения и закрепления нового материала.
5. Рефлексия.
6. Заключительный этап.
Ход урока:
1. Организационный этап.
Здравствуйте. Прежде чем мы приступим к уроку, хотелось бы узнать, как вы настроены к работе на уроке.
2. Актуализация опорных знаний:
Учитель показывает и раздает на каждый стол модели прямоугольных параллелепипедов.
Кто знает, как правильно называются эти предметы в математике?
Нарисуйте прямоугольный параллелепипед на доске.
Откройте тетради и запишите число и тему нашего урока.
3. Этап получения знаний:
Тема нашего урока Сегодня на уроке мы узнаем, какую фигуру называют прямоугольным параллелепипедом. Рассмотрим, какими измерениями обладает данная фигура, а также рассмотрим его некоторые свойства.
Нас окружают тела. Они имеют самую разнообразную форму. В математике, прежде всего, изучают некоторый определенный набор тел стандартной формы. Посмотрите на экран — это такие фигуры как призма, цилиндр, шар, пирамида и конус. Каждую из этих фигур мы рассмотрим в будущем, а сегодня же мы остановимся на рассмотрении призмы, или конкретно — прямоугольного параллелепипеда .
Представление о прямоугольном параллелепипеде дают, например, спичечный коробок, холодильник, шкаф и другие тела. Школьный кабинет, в котором мы сейчас с вами находимся, также имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Обратите внимание, на экране на первом рисунке изображен прямоугольный параллелепипед, а на втором рисунке — его математическое представление — изображение.
Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из 6 прямоугольников, каждый из которых называют гранью прямоугольного параллелепипеда. Стороны этих прямоугольников называются ребрами , а вершины прямоугольников — вершинами прямоугольного параллелепипеда. Заметьте, прямоугольный параллелепипед имеет 6 граней, 12 ребер и 8 вершин.
Посмотрите, на экране изображен прямоугольный параллелепипед, его противоположные грани не имеют общих точек, они равны между собой. Запомните , противоположные грани прямоугольного параллелепипеда равны. Нижнюю и верхнюю грани прямоугольного параллелепипеда называют его основаниями , остальные грани — боковыми гранями . Названия «нижняя грань», «верхняя грань», «боковая грань» условны. Например, на экране изображен один и тот же параллелепипед, а его верхние грани на рисунках различны.
В каждой вершине прямоугольного параллелепипеда сходятся три ребра. Такие ребра называют длиной, шириной и высотой прямоугольного параллелепипеда. Вместе их называют измерениями параллелепипеда. Названия «длина», «ширина» и «высота» также условны. На рисунке изображен один и тот же прямоугольный параллелепипед, а его высотой, например, названы разные ребра.
Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом . Все грани куба — равные между собой квадраты. Поэтому поверхность куба состоит из 6 равных квадратов .
Тело имеет разные свойства. Одним из них является масса, которую находят с помощью весов. Другим свойством тела является площадь поверхности. Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда таким образом: a — его длина, b — ширина и c — высота. Тогда с помощью этих обозначений запишем формулу площади поверхности прямоугольного параллелепипеда: S =2(a ∙ b + a ∙ c + b ∙ c ), что видно также из развертки поверхности прямоугольного параллелепипеда на плоскость.
Если ребро куба равно а, то его поверхность состоит из 6 одинаковых квадратов, каждый из которых имеет сторону длиной а. Поэтому площадь поверхности куба можно записать так: .
4. Этап обобщения и закрепления нового материала.
Итак, сделаем основные выводы:
Сегодня на уроке мы узнали, какую фигуру называют прямоугольным параллелепипедом. Рассмотрели, какими измерениями обладает данная фигура, а также рассмотрели его свойства. А также познакомились с кубом и его особенностями.
Для закрепления материала ответьте на вопросы:
Приведите примеры предметов, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда. Сколько граней имеет прямоугольный параллелепипед? Какую форму имеют грани прямоугольного параллелепипеда? Сколько ребер у прямоугольного параллелепипеда? Какими измерениями обладает прямоугольный параллелепипед? Сколько у него вершин? Какую фигуру называют кубом?
5. Рефлексия.
Хотелось бы узнать, понравился ли вам урок? Что было не понятным на уроке? Что еще бы вы хотели узнать?
6. Домашнее задание: § 4 п. 20 (№ 793, 813, 814)
Дополнительные задания:
Математический диктант (в скобках 2-ой вариант)
№ 1. Сколько граней (измерений) имеет прямоугольный параллелепипед?
№ 2. Закончите предложение: «Каждая грань прямоугольного параллелепипеда имеет форму …» («Куб — прямоугольный параллелепипед, у которого …»).
№ 3. Сколько вершин (ребер) имеет прямоугольный параллелепипед)
№ 4. Запишите формулу площади поверхности прямоугольного параллелепипеда (куба).
Взаимопроверка. Выставление оценок.
