Умножение матриц. Транспонирование матрицы онлайн
Транспонирование матрицы через данный онлайн калькулятор не займёт у вас много времени, но зато быстро даст результат и поможет лучше разобраться в самом процессе.
Иногда в алгебраических вычислениях возникает потребность поменять местами строки и столбцы матрицы. Такая операция именуется транспонированием матрицы. Строки по порядку становятся столбцами, а сама матрица – транспонированной. В данных вычислениях есть определённые правила, и чтобы в них разобраться и наглядно ознакомиться с процессом, воспользуйтесь данным онлайн калькулятором. Он существенно облегчит вам задачу и поможет лучше усвоить теорию транспонирования матриц. Значительным плюсом данного калькулятора является демонстрация развёрнутой и детального решения. Таким образом, его использование способствует получению более глубоких и осознанных представлений об алгебраических расчётах. K тому же, с его помощью всегда можно проверить, насколько успешно вы справились с задачей, производя транспонирование матриц вручную.
Пользоваться калькулятором очень просто. Чтобы найти транспонированную матрицу онлайн укажите размер матрицы нажатием на иконки «+» или «-» до получения нужных значений числа столбцов и строк. Далее в поля вводятся необходимые цифры. Ниже расположена кнопка «Вычислить» - её нажатие выводит на экран готовое решение с подробной расшифровкой алгоритма.
При работе с матрицами иногда нужно их транспонировать, то есть, говоря простыми словами, перевернуть. Конечно, можно перебить данные вручную, но Эксель предлагает несколько способов сделать это проще и быстрее. Давайте разберем их подробно.
Транспонирование матрицы – это процесс смены столбцов и строк местами. В программе Excel имеется две возможности проведения транспонирования: используя функцию ТРАНСП и при помощи инструмента специальной вставки. Рассмотрим каждый из этих вариантов более подробно.
Способ 1: оператор ТРАНСП
Функция ТРАНСП относится к категории операторов «Ссылки и массивы» . Особенностью является то, что у неё, как и у других функций, работающих с массивами, результатом выдачи является не содержимое ячейки, а целый массив данных. Синтаксис функции довольно простой и выглядит следующим образом:
ТРАНСП(массив)
То есть, единственным аргументом данного оператора является ссылка на массив, в нашем случае матрицу, который следует преобразовать.
Посмотрим, как эту функцию можно применить на примере с реальной матрицей.
- Выделяем незаполненную ячейку на листе, планируемую сделать крайней верхней левой ячейкой преобразованной матрицы. Далее жмем на значок «Вставить функцию» , который расположен вблизи строки формул.
- Производится запуск Мастера функций . Открываем в нем категорию «Ссылки и массивы» или «Полный алфавитный перечень» . После того, как отыскали наименование «ТРАНСП» , производим его выделение и жмем на кнопку «OK» .
- Происходит запуск окна аргументов функции ТРАНСП . Единственному аргументу данного оператора соответствует поле «Массив» . В него нужно внести координаты матрицы, которую следует перевернуть. Для этого устанавливаем курсор в поле и, зажав левую кнопку мыши, выделяем весь диапазон матрицы на листе. После того, как адрес области отобразился в окне аргументов, щелкаем по кнопке «OK» .
- Но, как видим, в ячейке, которая предназначена для вывода результата, отображается некорректное значение в виде ошибки «#ЗНАЧ!» . Это связано с особенностями работы операторов массивов. Чтобы исправить эту ошибку, выделяем диапазон ячеек, в котором число строк должно быть равным количеству столбцов первоначальной матрицы, а число столбцов – количеству строк. Подобное соответствие очень важно для того, чтобы результат отобразился корректно. При этом, ячейка, в которой содержится выражение «#ЗНАЧ!» должна быть верхней левой ячейкой выделяемого массива и именно с неё следует начинать процедуру выделения, зажав левую кнопку мыши. После того, как вы провели выделение, установите курсор в строку формул сразу же после выражения оператора ТРАНСП , которое должно отобразиться в ней. После этого, чтобы произвести вычисление, нужно нажать не на кнопку Enter , как принято в обычных формулах, а набрать комбинацию Ctrl+Shift+Enter .
- После этих действий матрица отобразилась так, как нам надо, то есть, в транспонированном виде. Но существует ещё одна проблема. Дело в том, что теперь новая матрица представляет собой связанный формулой массив, который нельзя изменять. При попытке произвести любое изменение с содержимым матрицы будет выскакивать ошибка. Некоторых пользователей такое положение вещей вполне удовлетворяет, так как они не собираются производить изменения в массиве, а вот другим нужна матрица, с которой полноценно можно работать.
Чтобы решить данную проблему, выделяем весь транспонированный диапазон. Переместившись во вкладку «Главная» щелкаем по пиктограмме «Копировать» , которая расположена на ленте в группе «Буфер обмена» . Вместо указанного действия можно после выделения произвести набор стандартного сочетания клавиш для копирования Ctrl+C .
- Затем, не снимая выделения с транспонированного диапазона, производим клик по нему правой кнопкой мыши. В контекстном меню в группе «Параметры вставки»
щелкаем по иконке «Значения»
, которая имеет вид пиктограммы с изображением чисел.
Вслед за этим формула массива ТРАНСП будет удалена, а в ячейках останутся только одни значения, с которыми можно работать так же, как и с исходной матрицей.
Способ 2: транспонирование матрицы с помощью специальной вставки
Кроме того, матрицу можно транспонировать с помощью одного элемента контекстного меню, который носит название «Специальная вставка» .
После указанных действий на листе останется только преобразованная матрица.
Этими же двумя способами, о которых шла речь выше, можно транспонировать в Excel не только матрицы, но и полноценные таблицы. Процедура при этом будет практически идентичной.
Итак, мы выяснили, что в программе Excel матрицу можно транспонировать, то есть, перевернуть, поменяв столбцы и строчки местами, двумя способами. Первый вариант предполагает использование функции ТРАНСП , а второй – инструменты специальной вставки. По большому счету конечный результат, который получается при использовании обоих этих способов, ничем не отличается. Оба метода работают практически в любой ситуации. Так что при выборе варианта преобразования, на первый план выходят личные предпочтения конкретного пользователя. То есть, какой из данных способов для вас лично удобнее, тот и используйте.
Транспонирование матриц
Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка (или, что то же самое, замена столбцов матрицы на ее строки).
Пусть дана исходная матрица А:
Тогда согласно определению транспонированная матрица А" имеет вид:
Сокращенная форма записи операции транспонирования матрицы: Транспонированную матрицу часто обозначают
Пример 3. Пусть даны матрицы А и В:
Тогда соответствующие транспонированные матрицы имеют вид:
Нетрудно заметить две закономерности операции транспонирования матриц.
1. Дважды транспонированная матрица равна исходной матрице:
2. При транспонировании квадратных матриц элементы, находящиеся на главной диагонали, не меняют своих позиций, т.е. главная диагональ квадратной матрицы не меняется при транспонировании.
Умножение матриц
Умножение матриц - это специфическая операция, составляющая основу алгебры матриц. Строки и столбцы матриц можно рассматривать как векторы- строки и векторы-столбцы соответствующих размерностей; иными словами, любую матрицу можно интерпретировать как совокупность векторов-строк или векторов-столбцов.
Пусть даны две матрицы: А - размера т х п и В - размера п х к. Будем рассматривать матрицу А как совокупность т векторов-строк а) размерности п каждый, а матрицу В - как совокупность к векторов-столбцов b Jt содержащих по п координат каждый:
Векторы-строки матрицы А и векторы-столбцы матрицы В показаны в записи этих матриц (2.7). Длина строки матрицы А равна высоте столбца матрицы В , и потому скалярное произведение этих векторов имеет смысл.
Определение 3. Произведением матриц А и В называется матрица С, элементы которой Су равны скалярным произведениям векторов-строк а ( матрицы А на векторы-столбцы bj матрицы В:
Произведение матриц А и В - матрица С - имеет размер т х к , поскольку длина л векторов-строк и векторов-столбцов исчезает при суммировании произведений координат этих векторов в их скалярных произведениях, как показано в формулах (2.8). Таким образом, для вычисления элементов первой строки матрицы С необходимо последовательно получить скалярные произведения первой строки матрицы А на все столбцы матрицы В вторая строка матрицы С получается как скалярные произведения второй вектор-строки матрицы А на все векторы-столбцы матрицы В , и так далее. Для удобства запоминания размера произведения матриц нужно поделить произведения размеров матриц-сомножителей: - , тогда остающиеся в отношении числа дают размер произвела к
дсния, т.с. размер матрицы С равен т х к.
В операции умножения матриц есть характерная особенность: произведение матриц А и В имеет смысл, если число столбцов в А равно числу строк в В. Тогда, если А и В - прямоугольные матрицы, то произведение В и А уже не будет иметь смысла, так как в скалярных произведениях, формирующих элементы соответствующей матрицы, должны участвовать векторы с одинаковым числом координат.
Если матрицы А и В квадратные, размера л х л, имеет смысл как произведение матриц АВ, так и произведение матриц ВА, причем размер этих матриц такой же, как и у исходных сомножителей. При этом в общем случае перемножения матриц правило перестановочности (коммутативности) нс соблюдается, т.е. АВ * ВА.
Рассмотрим примеры на умножение матриц.
Поскольку число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, произведение матриц АВ имеет смысл. По формулам (2.8) получаем в произведении матрицу размера 3x2:
Произведение ВА нс имеет смысла, так как число столбцов матрицы В не совпадает с числом строк матрицы А.
Здесь мы найдем произведения матриц АВ и ВА:
Как видно из результатов, матрица произведения зависит от порядка матриц в произведении. В обоих случаях произведения матриц имеют тот же размер, что и у исходных сомножителей: 2x2.
В данном случае матрица В представляет собой вектор-столбец, т.е. матрицу, у которой три строки и один столбец. Вообще, векторы - это частные случаи матриц: вектор-строка длины п представляет собой матрицу с одной строкой и п столбцами, а вектор-столбец высоты п - матрицу с п строками и одним столбцом. Размеры приведенных матриц соответственно 2 х 3 и 3 х I, так что произведение этих матриц определено. Имеем
В произведении получена матрица размера 2 х 1 или вектор-столбец высоты 2.
Путем последовательного умножения матриц находим:
Свойства произведения матриц. Пусть А, В и С - матрицы соответствующих размеров (чтобы произведения матриц были определены), а а - действительное число. Тогда имеют место следующие свойства произведения матриц:
- 1) (АВ)С = А{ВС);
- 2) СА + В)С = АС + ВС
- 3) А (В + С) = АВ + АС;
- 4) а (АВ) = (аА)В = А(аВ).
Понятие единичной матрицы Е было введено в п. 2.1.1. Нетрудно убедиться, что в алгебре матриц она играет роль единицы, т.е. можно отметить еще два свойства, связанные с умножением на эту матрицу слева и справа:
- 5 )АЕ=А;
- 6) ЕА = А.
Иными словами, произведение любой матрицы на единичную матрицу, если оно имеет смысл, нс меняет исходную матрицу.
В высшей математике изучается такое понятие, как транспонированная матрица. Следует заметить: многим кажется, что это довольно сложная тема, которую невозможно освоить. Однако это не так. Для того чтобы понимать, как именно осуществляется настолько легкая операция, необходимо лишь немного ознакомиться с основным понятием - матрицей. Тему сможет понять любой студент, если уделит время на ее изучение.
Что же такое матрица?
Матрицы в математике довольно распространены. Следует заметить, что они также встречаются в информатике. Благодаря им и с их помощью легко программировать и создавать программное обеспечение.
Что же такое матрица? Это таблица, в которую помещены элементы. Она обязательно имеет прямоугольный вид. Если говорить простейшим языком, то матрица является таблицей чисел. Обозначается она при помощи каких-либо заглавных латинских букв. Она может быть прямоугольной или квадратной. Есть также отдельно строки и столбцы, которые названы векторами. Такие матрицы получают лишь одну линию чисел. Для того чтобы понять, какой размер имеет таблица, необходимо обратить внимание на количество строк и столбцов. Первое обозначаются буквой m, а второе - n.
Следует обязательно понимать, что такое диагональ матрицы. Есть побочная и главная. Второй является та полоса чисел, которая идет слева направо от первого к последнему элементу. В таком случае побочной будет линия справа налево.
С матрицами можно делать практически все простейшие арифметические действия, то есть складывать, вычитать, умножать между собой и отдельно на число. Также их можно транспонировать.
Процесс транспонирования
Транспонированная матрица - это матрица, в которой строки и столбцы поменяны местами. Делается это максимально легко. Обозначается как А с верхним индексом Т (A T). В принципе, следует сказать, что в высшей математике это одна из самых простых операций над матрицами. Размер таблицы сохраняется. Такую матрицу называют транспонированной.
Свойства транспонированных матриц
Для того чтобы правильно делать процесс транспонирования, необходимо понимать, какие свойства этой операции существуют.
- Обязательно существует исходная матрица к любой транспонированной таблице. Их определители должны быть равны между собой.
- Если имеется скалярная единица, то при совершении данной операции ее можно вынести.
- При двойном транспонировании матрицы она будет равна первоначальной.
- Если сравнить две сложенные таблицы с поменянными столбцами и строками, с суммой элементов, над которыми была произведена данная операция, то они будут одинаковы.
- Последнее свойство заключается в том, что если транспонировать умноженные между собой таблицы, то значение должно быть равно результатам, полученным в ходе умножения между собой транспонированных матриц в обратном порядке.
Для чего транспонировать?
Матрица в математике необходима для того, чтобы решать с ней определенные задачи. В некоторых из них требуется вычислить обратную таблицу. Для этого следует найти определитель. Далее рассчитываются элементы будущей матрицы, затем они транспонируются. Осталось найти лишь непосредственно обратную таблицу. Можно сказать, что в таких задачах требуется найти Х, и сделать это довольно легко при помощи базовых знаний теории уравнений.
Итоги
В данной статье было рассмотрено, что представляет собой транспонированная матрица. Эта тема пригодится будущим инженерам, которым нужно уметь правильно рассчитывать сложные конструкции. Иногда матрицу не так уж и просто решить, придется поломать голову. Однако в курсе студенческой математики данная операция осуществляется максимально легко и без каких-либо усилий.
