Практическое применение преобразования Фурье для анализа сигналов. Введение для начинающих

Ряды Фурье - это представление произвольно взятой функции с конкретным периодом в виде ряда. В общем виде данное решение называют разложением элемента по ортогональному базису. Разложение функций в ряд Фурье является довольно мощным инструментарием при решении разнообразных задач благодаря свойствам данного преобразования при интегрировании, дифференцировании, а также сдвиге выражения по аргументу и свертке.

Человек, не знакомый с высшей математикой, а также с трудами французского ученого Фурье, скорее всего, не поймет, что это за «ряды» и для чего они нужны. А между тем данное преобразование довольно плотно вошло в нашу жизнь. Им пользуются не только математики, но и физики, химики, медики, астрономы, сейсмологи, океанографы и многие другие. Давайте и мы поближе познакомимся с трудами великого французского ученого, сделавшего открытие, опередившее свое время.

Человек и преобразование Фурье

Ряды Фурье являются одним из методов (наряду с анализом и другими) Данный процесс происходит каждый раз, когда человек слышит какой-либо звук. Наше ухо в автоматическом режиме производит преобразование элементарных частиц в упругой среде раскладываются в ряды (по спектру) последовательных значений уровня громкости для тонов разной высоты. Далее мозг превращает эти данные в привычные для нас звуки. Все это происходит помимо нашего желания или сознания, само по себе, а вот для того чтобы понять эти процессы, понадобится несколько лет изучать высшую математику.

Подробнее о преобразовании Фурье

Преобразование Фурье можно проводить аналитическими, числительными и другими методами. Ряды Фурье относятся к числительному способу разложения любых колебательных процессов - от океанских приливов и световых волн до циклов солнечной (и других астрономических объектов) активности. Используя эти математические приемы, можно разбирать функции, представляя любые колебательные процессы в качестве ряда синусоидальных составляющих, которые переходят от минимума к максимуму и обратно. Преобразование Фурье является функцией, описывающей фазу и амплитуду синусоид, соответствующих определенной частоте. Данный процесс можно использовать для решения весьма сложных уравнений, которые описывают динамические процессы, возникающие под действием тепловой, световой или электрической энергии. Также ряды Фурье позволяют выделять постоянные составляющие в сложных колебательных сигналах, благодаря чему стало возможным правильно интерпретировать полученные экспериментальные наблюдения в медицине, химии и астрономии.

Историческая справка

Отцом-основателем этой теории является французский математик Жан Батист Жозеф Фурье. Его именем впоследствии и было названо данное преобразование. Изначально ученый применил свой метод для изучения и объяснения механизмов теплопроводности - распространения тепла в твердых телах. Фурье предположил, что изначальное нерегулярное распределение можно разложить на простейшие синусоиды, каждая из которых будет иметь свой температурный минимум и максимум, а также свою фазу. При этом каждая такая компонента будет измеряться от минимума к максимуму и обратно. Математическая функция, которая описывает верхние и нижние пики кривой, а также фазу каждой из гармоник, назвали преобразованием Фурье от выражения распределения температуры. Автор теории свел общую функцию распределения, которая трудно поддается математическому описанию, к весьма удобному в обращении ряду косинуса и синуса, в сумме дающих исходное распределение.

Принцип преобразования и взгляды современников

Современники ученого - ведущие математики начала девятнадцатого века - не приняли данную теорию. Основным возражением послужило утверждение Фурье о том, что разрывную функцию, описывающую прямую линию или разрывающуюся кривую, можно представить в виде суммы синусоидальных выражений, которые являются непрерывными. В качестве примера можно рассмотреть «ступеньку» Хевисайда: ее значение равно нулю слева от разрыва и единице справа. Данная функция описывает зависимость электрического тока от временной переменной при замыкании цепи. Современники теории на тот момент никогда не сталкивались с подобной ситуацией, когда разрывное выражение описывалось бы комбинацией непрерывных, обычных функций, таких как экспонента, синусоида, линейная или квадратичная.

Что смущало французских математиков в теории Фурье?

Ведь если математик был в прав в своих утверждениях, то, суммируя бесконечный тригонометрический ряд Фурье, можно получить точное представление ступенчатого выражения даже в том случае, если оно имеет множество подобных ступеней. В начале девятнадцатого века подобное утверждение казалось абсурдным. Но несмотря на все сомнения, многие математики расширили сферу изучения данного феномена, выведя его за пределы исследований теплопроводности. Однако большинство ученых продолжали мучиться вопросом: "Может ли сумма синусоидального ряда сходиться к точному значению разрывной функции?"

Сходимость рядов Фурье: пример

Вопрос о сходимости поднимается всякий раз при необходимости суммирования бесконечных рядов чисел. Для понимания данного феномена рассмотрим классический пример. Сможете ли вы когда-либо достигнуть стены, если каждый последующий шаг будет вдвое меньше предыдущего? Предположим, что вы находитесь в двух метрах от цели, первый же шаг приближает к отметке на половине пути, следующий - к отметке в три четверти, а после пятого вы преодолеете почти 97 процентов пути. Однако сколько бы вы шагов ни сделали, намеченной цели вы не достигните в строгом математическом смысле. Используя числовые расчеты, можно доказать, что в конце концов можно приблизиться на сколь угодно малое заданное расстояние. Данное доказательство является эквивалентным демонстрации того, что суммарное значение одной второй, одной четвертой и т. д. будет стремиться к единице.

Вопрос сходимости: второе пришествие, или Прибор лорда Кельвина

Повторно данный вопрос поднялся в конце девятнадцатого века, когда ряды Фурье попробовали применить для предсказания интенсивности отливов и приливов. В это время лордом Кельвином был изобретен прибор, представляющий собой аналоговое вычислительное устройство, которое позволяло морякам военного и торгового флота отслеживать это природное явление. Данный механизм определял наборы фаз и амплитуд по таблице высоты приливов и соответствующих им временных моментов, тщательно замеренных в данной гавани в течение года. Каждый параметр представлял собой синусоидальную компоненту выражения высоты прилива и являлся одной из регулярных составляющих. Результаты измерений вводились в вычислительный прибор лорда Кельвина, синтезирующий кривую, которая предсказывала высоту воды как временную функцию на следующий год. Очень скоро подобные кривые были составлены для всех гаваней мира.

А если процесс будет нарушен разрывной функцией?

В то время представлялось очевидным, что прибор, предсказывающий приливную волну, с большим количеством элементов счета может вычислить большое количество фаз и амплитуд и так обеспечить более точные предсказания. Тем не менее оказалось, что данная закономерность не соблюдается в тех случаях, когда приливное выражение, которое следует синтезировать, содержало резкий скачок, то есть являлось разрывным. В том случае, если в устройство вводятся данные из таблицы временных моментов, то оно производит вычисления нескольких коэффициентов Фурье. Исходная функция восстанавливается благодаря синусоидальным компонентам (в соответствии с найденными коэффициентами). Расхождение между исходным и восстановленным выражением можно измерять в любой точке. При проведении повторных вычислений и сравнений видно, что значение наибольшей ошибки не уменьшается. Однако они локализируются в области, соответствующей точке разрыва, а в любой иной точке стремятся к нулю. В 1899 году этот результат был теоретически подтвержден Джошуа Уиллардом Гиббсом из Йельского университета.

Сходимость рядов Фурье и развитие математики в целом

Анализ Фурье неприменим к выражениям, содержащим бесконечное количество всплесков на определенном интервале. В общем и целом ряды Фурье, если изначальная функция представлена результатом реального физического измерения, всегда сходятся. Вопросы сходимости данного процесса для конкретных классов функций привели к появлению новых разделов в математике, например теории обобщенных функций. Она связана с такими именами, как Л. Шварц, Дж. Микусинский и Дж. Темпл. В рамках данной теории была создана четкая и точная теоретическая основа под такие выражения, как дельта-функция Дирака (она описывает область единой площади, сконцентрированной в бесконечно малой окрестности точки) и «ступень» Хевисайда. Благодаря этой работе ряды Фурье стали применимы для решения уравнений и задач, в которых фигурируют интуитивные понятия: точечный заряд, точечная масса, магнитные диполи, а также сосредоточенная нагрузка на балке.

Метод Фурье

Ряды Фурье, в соответствии с принципами интерференции, начинаются с разложения сложных форм на более простые. Например, изменение теплового потока объясняется его прохождением сквозь различные препятствия из теплоизолирующего материала неправильной формы или изменением поверхности земли - землетрясением, изменением орбиты небесного тела - влиянием планет. Как правило, подобные уравнения, описывающие простые классические системы, элементарно решаются для каждой отдельной волны. Фурье показал, что простые решения также можно суммировать для получения решения более сложных задач. Выражаясь языком математики, ряды Фурье - это методика представления выражения суммой гармоник - косинусоид и синусоид. Поэтому данный анализ известен также под именем «гармонический анализ».

Ряд Фурье - идеальная методика до «компьютерной эпохи»

До создания компьютерной техники методика Фурье являлась лучшим оружием в арсенале ученых при работе с волновой природой нашего мира. Ряд Фурье в комплексной форме позволяет решать не только простые задачи, которые поддаются прямому применению законов механики Ньютона, но и фундаментальные уравнения. Большинство открытий ньютоновской науки девятнадцатого века стали возможны только благодаря методике Фурье.

Ряды Фурье сегодня

С развитием компьютеров преобразования Фурье поднялись на качественно новый уровень. Данная методика прочно закрепилась практически во всех сферах науки и техники. В качестве примера можно привести цифровой аудио- и видеосигнал. Его реализация стала возможной только благодаря теории, разработанной французским математиком в начале девятнадцатого века. Так, ряд Фурье в комплексной форме позволил совершить прорыв в изучении космического пространства. Кроме того, это повлияло на изучение физики полупроводниковых материалов и плазмы, микроволновой акустики, океанографии, радиолокации, сейсмологии.

Тригонометрический ряд Фурье

В математике ряд Фурье является способом представления произвольных сложных функций суммой более простых. В общих случаях количество таких выражений может быть бесконечным. При этом чем больше их число учитывается при расчете, тем точнее получается конечный результат. Чаще всего в качестве простейших используют тригонометрические функции косинуса или синуса. В таком случае ряды Фурье называют тригонометрическими, а решение таких выражений - разложением гармоники. Этот метод играет важную роль в математике. Прежде всего, тригонометрический ряд дает средства для изображения, а также изучения функций, он является основным аппаратом теории. Кроме того, он позволяет решать ряд задач математической физики. Наконец, данная теория способствовала развитию вызвала к жизни целый ряд весьма важных разделов математической науки (теорию интегралов, теорию периодических функций). Кроме того, послужила отправным пунктом для развития следующих функций действительного переменного, а также положила начало гармоническому анализу.

функций. Данное преобразование имеет большое значение, поскольку с помощью него можно решать много практических задач. Рядами Фурье пользуются не только математики, но и специалисты других наук.

Разложение функций в ряд Фурье – это математический прием, который можно наблюдать и в природе, если использовать прибор, чувствующий синусоидальные функции.

Данный процесс происходит, когда человек слышит какой-либо звук. Ухо человека устроено таким образом, что может чувствовать отдельные синусоидальные колебания давления воздуха разной частоты, что, в свою очередь, позволяет человеку распознавать речь, слушать музыку.

Ухо человека воспринимает звук не целиком, а через составляющие его ряда Фурье. Струны музыкального инструмента производит звуки, представляющие собой синусоидальные колебания различных частот. Действительность разложения света в ряд Фурье представляет радуга. Зрение человека воспринимает свет через некоторые его составляющие разных частот электромагнитных колебаний.

Преобразованием Фурье является функция, которая описывает фазу и амплитуду синусоид, определенной частоты. Это преобразование используют для решения уравнений, описывающих динамические процессы, которые возникают под действием энергии. Ряды Фурье решают задачу выделения постоянных составляющих в сложных колебательных сигналах, что позволило правильно трактовать полученные данные экспериментов, наблюдений в медицине, химии и астрономии .

Открытие данного преобразования принадлежит французскому математику Жан Батисту Жозефу Фурье. В честь, которого впоследствии было и названо рядом Фурье. Первоначально ученый нашел применение своего метода при изучении и объяснении механизмов теплопроводности. Было предположено, что изначальное нерегулярное распределение тепла можно представить в виде простейших синусоид. Для каждой, из которых будет определен температурный минимум, максимум и фаза. Функция, описывающая верхние и нижние пики кривой, фазу каждой гармоники называется преобразованием Фурье от выражения распределения температуры. Автор преобразования предложил способ разложения сложной функции в виде суммы периодических функций косинуса, синуса .

Целью курсовой работы является изучение ряда Фурье и актуальности практического применения данного преобразования.

Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи:

1) дать понятие тригонометрического ряда Фурье;

2) определить условия разложимости функции в ряд Фурье;

3) рассмотреть разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций;

4) рассмотреть разложение в ряд Фурье непериодической функции;

5) раскрыть практическое применение ряда Фурье.

Объект исследования: разложение функций в ряд Фурье.

Предмет исследования: ряды Фурье.

Методы исследования: анализ, синтез, сравнение, аксиоматический метод.

1.5. Ряд Фурье для четных и нечетных функций

Рассмотрим симметричный интеграл

где непрерывная или кусочно-непрерывная на. Сделаем замену в первом интеграле. Полагаем. Тогда

Следовательно, если четная функция, то (т.е. график четной функции симметричен относительно оси и

Если - нечетная функция, то (т.е. график нечетной функции симметричен относительно начала координат) и

Т.е. симметричный интеграл от четной функции равен удвоенному интегралу по половинному промежутку интегрирования, а симметричный интеграл от нечетной функции равен нулю.

Отметим следующие два свойства четных и нечетных функций:

1) произведение четной функции на нечетную есть функция нечетная;

2) произведение двух четных (нечетных) функций есть функция четная.

Пусть - четная функция, заданная на и разлагающаяся на этом отрезке в тригонометрический ряд Фурье. Используя полученные выше результаты, получим, что коэффициенты этого ряда будут иметь вид:

Если - нечетная функция, заданная на отрезке и разлагающаяся на этом отрезке в тригонометрический ряд Фурье, то коэффициенты этого ряда будут иметь вид:

Следовательно, тригонометрический ряд Фурье на отрезке будет иметь вид

для четной функции:

(16)

для нечетной функции:

Ряд (16) не содержит синусов кратных углов, то есть в ряд Фурье четной функции входят только четные функции и свободный член. Ряд (17) не содержит косинусов кратных углов, то есть в ряд Фурье нечетной функции входят только нечетные функции .

Определение. Ряды
являются частями полного ряда Фурье и называются неполными тригонометрическими рядами Фурье.

Если функция разлагается в неполный тригонометрический ряд (16) (или (17)), то говорят, что она разлагается в тригонометрический ряд Фурье по косинусам (или по синусам).

1.6. Разложение в ряд Фурье непериодической функции

1.6.1. Разложение в ряд Фурье функций на

Пусть функция задана на отрезке и удовлетворяет на этом отрезке условиям теоремы Дирихле. Выполним замену переменной. Пусть, где подберем так, чтобы получившаяся функция аргумента была определена на. Следовательно, считаем, что

Получившуюся в результате замены функцию можно разложить на в ряд Фурье:

где

Сделаем обратную замену ⇒ Получим

где

(19)

Ряд (18) – ряд Фурье по основной тригонометрической системе функций

Таким образом, получили, что если функция задана на отрезке и удовлетворяет на этом отрезке условиям теоремы Дирихле, то она может быть разложена в тригонометрический ряд Фурье (18) по тригонометрической системе функций (20) .

Тригонометрический ряд Фурье для четной функции, заданной на, будет иметь вид

где

для нечетной функции

где

Замечание! В некоторых задачах требуется разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье по системе функций (20) не на отрезке, а на отрезке. В этом случае необходимо просто изменить пределы интегрирования в формулах (19) ((15), если, то есть в этом случае

(23)

или, если

(24)

Сумма тригонометрического ряда Фурье периодическая функция с периодом, являющаяся периодическим продолжением заданной функции. А для периодической функции справедливо равенство (4).

1.6.2. Разложение в ряд Фурье функций на

Пусть функция задана на и удовлетворяет на этом отрезке условиям теоремы Дирихле. Такую функцию также можно разложить в ряд Фурье. Для этого функцию нужно доопределить на промежуток и полученную функцию разложить в ряд Фурье на отрезке. При этом полученный ряд следует рассматривать только на отрезке, на котором функция задана. Для удобства вычислений доопределим функцию четным и нечетным образом.

1) Продолжим функцию на промежуток четным образом, то есть построим новую четную функцию, совпадающую на отрезке с функцией. Следовательно, график этой функции симметричен относительно оси и на отрезке совпадает с графиком. По формулам (21) найдем коэффициенты ряда Фурье для функции и запишем сам ряд Фурье. Сумма ряда Фурье для – периодическая функция, с периодом. Она будет совпадать с функцией на во всех точках непрерывности.

2) Доопределим функцию на промежуток нечетным образом, то есть построим новую нечетную функцию, совпадающую на с функцией. График такой функции симметричен относительно начала координат и на отрезке совпадает с графиком. По формулам (22) найдем коэффициенты ряда Фурье для функции и запишем сам ряд Фурье. Сумма ряда Фурье для – периодическая функция с периодом. Она будет совпадать с функцией на во всех точках непрерывности.

Замечания!

1) Аналогично можно разложить в ряд Фурье функцию, заданную на отрезке

2) Так как разложение функции на отрезке предполагает ее продолжение на отрезок произвольным образом, то и ряд Фурье для функции не будет единственным .

1.6.3. Разложение в ряд Фурье функций на

Пусть функция задана на произвольном отрезке длины и удовлетворяет на нем условиям теоремы Дирихле.

Тогда эта функция может быть разложена в ряд Фурье. Для этого функцию нужно периодически (с периодом) продолжить на всю числовую прямую и полученную функцию разложить в ряд Фурье, который следует рассматривать только на отрезке. В силу свойства (3) периодических функций имеем

Поэтому коэффициенты Фурье для полученного продолжения функции можно найти по формулам

(25)

2. Практическое применение рядов Фурье

2.1. Задачи на разложение функций в ряд Фурье и их решение

В тригонометрический ряд Фурье требуется разложить функцию, являющуюся периодическим продолжением заданной на отрезке функции. Для этого необходимо пользоваться алгоритмом разложения периодической функции в ряд Фурье.

Алгоритм разложения периодической функции в ряд Фурье:

1) Построить график заданной функции и ее периодического продолжения;

2) Установить период заданной функции;

3) Определить функция четная, нечетная или общего вида;

4) Проверить выполнимость условий теоремы Дирихле;

5) Составить формальную запись ряда Фурье, порожденного данной функцией;

6) Вычислить коэффициенты Фурье;

7) Записать ряд Фурье для заданной функции, используя коэффициенты ряда Фурье (п.4).

Пример 1. Функцию разложить в ряд Фурье на промежутке.

Решение:

1) Построим график заданной функции и его периодическое продолжение.

2) Период разложения функции.

3) Функция - нечетная.

4) Функция - непрерывная и монотонна на, т.е. функция удовлетворяет условиям Дирихле.

5) Вычислим коэффициенты ряда Фурье.

6) Запишем ряд Фурье, подставив коэффициенты Фурье в формулу

Ответ:

Пример 2. Разложим функцию с произвольным периодом в ряд Фурье .

Решение: функция определена на полуинтервале (-3;3]. Период разложения функции, полупериод. Разложим функцию в ряд Фурье

В начале координат функция разрывная, поэтому каждый коэффициент Фурье будем представлять в виде суммы двух интегралов.

Запишем ряд Фурье, подставив найденные коэффициенты ряда Фурье в формулу.

Пример 3. Разложить функцию на промежутке в ряд Фурье по косинусам. Построить график суммы ряда.

Решение: продолжим функцию на промежуток четным образом, то есть построим новую четную функцию, совпадающую на отрезке с функцией. Найдем коэффициенты ряда Фурье для функции и запишем ряд Фурье. Сумма ряда Фурье для - периодическая функция, с периодом. Она будет совпадать с функцией на во всех точках непрерывности.

Тригонометрический ряд Фурье для функции будет иметь вид

Найдем коэффициенты ряда Фурье

Таким образом, когда найдены коэффициенты, можно записать ряд Фурье

Построим график суммы ряда

Пример 4. Дана функция, определенная на отрезке . Выяснить, можно ли разложить функцию в ряд Фурье. Записать разложение функции в ряд Фурье .

Решение:

1) построим график функции на .

2) функция непрерывна и монотонна на , то есть по теореме Дирихле разлагается в тригонометрический ряд Фурье.

3) вычислим коэффициенты Фурье по формулам (1.19).

4) запишем ряд Фурье, используя найденные коэффициенты.

2.2. Примеры применения рядов Фурье в различных областях деятельности человека

Математика – одна из наук, которая имеет широкое применение на практике. Любой производственно-технологический процесс основан на математических закономерностях. Применение различных инструментов математического аппарата позволяет конструировать устройства и автоматизированные агрегаты, способные выполнять операции, сложные расчеты и вычисления при проектировании зданий, сооружений.

Ряды Фурье применяются математиками в геометрии при решении задач в сферической геометрии; в м атематической физике при решении задач о малых колебаниях упругих сред. Но кроме математики ряды Фурье нашли свое применение и в других областях наук.

Ежедневно люди пользуются различными устройствами. И зачастую эти устройства работают неисправно. Например, звук плохо различим из-за больших шумов или изображение, полученное по факсу, нечеткое. Причину неисправности человек может определить по звуку. Компьютер также может провести диагностику повреждения устройства. Лишние шумы можно убрать с помощью компьютерной обработки сигналов. Сигнал представляют в виде последовательности цифровых значений, которые затем вводят в компьютер. Выполнив определенные вычисления, получают коэффициенты ряда Фурье.

Изменение спектра сигнала позволяет очищать запись от шумов, компенсировать искажения сигнала различными устройствами звукозаписи, менять тембры инструментов, акцентировать внимание слушателей на отдельных партиях.

В цифровой обработке изображений применение рядов Фурье позволяет проводить следующие эффекты: размытие, подчеркивание границ, восстановление изображений, художественные эффекты (тиснение)

Разложение в ряд Фурье применяется в архитектуре при исследовании колебательных процессов. Например, при создании проекта различного вида конструкций рассчитывают прочность, жесткость и устойчивость элементов конструкций.

В медицине для проведения медицинского обследования с помощью кардиограмм, аппарата УЗИ пользуются математическим аппаратом, в основе которого лежит теория рядов Фурье.

Объемные вычислительные задачи оценки статистических характеристик сигналов, фильтрации шумов возникают при регистрации и обработке данных морского непрерывного дна. При постановке измерений, их регистрации перспективны голографические методы, использующие ряды Фурье. То есть ряды Фурье применяются и в такой науке как океанология.

Элементы математики встречаются на производстве практически на каждом шагу, поэтому специалистам важно знать и блестяще ориентироваться в области применения тех или иных инструментов анализа и расчета .

Заключение

Тема курсовой работы посвящена изучению ряда Фурье. Произвольную функцию можно разложить на более простые, то есть можно разложить в ряд Фурье. Объем курсовой работы не позволяет подробно раскрыть все аспекты разложения функции в ряд. Однако, из поставленных задач, представилось возможным раскрыть основную теорию о рядах Фурье.

В курсовой работе раскрыто понятие тригонометрического ряда Фурье. Определены условия разложимости функции в ряд Фурье. Рассмотрены разложения в ряд Фурье четных и нечетных функций; непериодических функций.

Во второй главе приведены лишь некоторые примеры разложения функций, заданных на различных промежутках, в ряд Фурье. Описаны те области наук, где используется данное преобразование.

Существует также комплексная форма представления ряда Фурье, которую не удалось рассмотреть, так как не позволяет объем курсовой работы. Комплексная форма ряда алгебраически проста. Поэтому часто используется в физике и прикладных расчетах.

Важность темы курсовой работы обусловлена тем, что находит широкое применение не только в математике, но в других науках: физике, механике, медицине, химии и многих других.

Список литературы

1. Бари, Н.К. Тригонометрические ряды. [текст]/ Н.К. Бари. - Москва, 1961 . - 936 с .

2. Бермант, А.Ф. Краткий курс математического анализа: учебник для вузов [текст] / А.Ф. Бермант, И.Г. Араманович. – 11-е изд., стер. – СПб.: Издательство «Лань», 2005. – 736 с.

3. Бугров, Я. С. Высшая математика: Учебник для вузов: В 3 т. [текст] / Я. С. Бугров, С. М. Никольский; Под ред. В. А. Садовничего. - 6-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2004. -512 с.

4. Виноградова, И. А. Задачи и упражнения по математическому анализу: пособие для университетов, пед. вузов: В 2 ч. [текст] / И. А. Виноградова, С. Н. Олехник, В.А. Садовничий; под ред. В.А. Садовничего. – 3-е изд., испр. – М.: Дрофа, 2001. – 712 с.

5. Гусак, А.А. Высшая математика. В 2-х т. Т. 2. Учебник для студентов вузов. [текст] / А. А. Гусак. – 5-е изд. – Минск: ТетраСистемс, 2004.

6. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учебное пособие для вузов: 2 ч. [текст] / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. Москва: ОНИКС: Мир и образование, 2003. – 306 с.

7. Лукин, А. Введение в цифровую обработку сигналов(математические основы) [текст]/ А. Лукин. - М., 2007. - 54 с.

8. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2: Учебное пособие для втузов. [текст] / Н. С. Пискунов. - 13-е изд.- М.: Наука, 1985. - 432 с.

9. Рудин, У. Основы математического анализа. [текст] / У. Рудин. - 2-е изд., Пер. с англ. .- М.: Мир, 1976 .- 206 с.

10. Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа. Часть 2. [текст] / Г. М. Фихтенгольц. - 6-е изд., стер. - СПб.: Издательство «Лань», 2005. – 464 с.

Оренбург, 2015 г.

Ряды Фурье и их применение в технике связи

Наименование параметра	Значение
Тема статьи:	Ряды Фурье и их применение в технике связи
Рубрика (тематическая категория)	Образование

Разложение непрерывного сигнала в ортогональные ряды

Лекция 6. Непрерывный канал

Критерии качества восстановления.

Существуют следующие критерии:

1) Критерий наибольшего отклонения

где: допускаемая погрешность восстановления, - max значение - текущая погрешность приближения.

При этом имеется уверенность, что любые изменения исходного сигнала, включая кратковременные выбросы будут зафиксированы.

2) Критерий СКЗ. где: - дополнительная СК погрешность приближения, - СК погрешность приближения.

3) Интегральный критерий

Определяется max среднее значение за период дискретизации.

4) Вероятностный критерий

Задаётся допустимый уровень, величина Р – вероятности того, что текущая погрешность приближения не зависит от некоторого определённого значения.

Цель лекции: ознакомление c непрерывным каналом

а) разложение непрерывного сигнала в ортогональные ряды;

б) Ряды Фурье и их применение в технике связи;

в) теорема Котельникова (Основная теорема Шеннона);

г) пропускная способность непрерывного канала;

д) модель НКС.

В теории связи для представления сигналов широко используются два частных случая разложения функций в ортогональные ряды: разложение по тригонометрическим функциям и разложение по функциям вида sin x/x. В первом случае получаем спектральное представление сигнала в виде обычного ряда Фурье, а во втором случае – временное представление в виде ряда В.А. Котельникова.

Простейшей с практической точки зрения формой выражения сигнала является линœейная комбинация некоторых элементарных функций

В общем случае, сигнал представляет собой сложное колебание, в связи с этим возникает крайне важно сть представить сложную функцию s(t), определяющую сигнал, через простые функции.

При изучении линœейных систем такое представление сигнала весьма удобно. Оно позволяет решение многих задач расчленить на части, применяя принцип суперпозиции. К примеру, чтобы определить сигнал на выходе линœейной системы, вычисляется реакция системы на каждое элементарное воздействие ψ k (t), а затем результаты, умноженные на соответствующие коэффициенты а k легко вычислялись и не зависели от числа членов суммы. Указанным требованиям наиболее полно удовлетворяет совокупность ортогональных функций.

Функции ψ 1 (t), ψ 2 (t), . . . . , ψ n (t) . (6.2)

Заданные на интервале, называются ортогональными,

если при. (6.3)

Основой спектрального анализа сигналов является представление функций времени в виде ряда или интеграла Фурье. Любой периодический сигнал s(t), удовлетворяющий условию Дирихле, должна быть представлен в виде ряда по тригонометрическим функциям

Величина а 0, выражающая среднее значение сигнала за период, принято называть постоянной составляющей. Она вычисляется по формуле

Весьма удобной является комплексная форма записи ряда Фурье

Величина A k есть комплексная амплитуда, она находится по формуле

Соотношения (6.8) и (6.9) составляют пару дискретных преобразований Фурье. Необходимо отметить, что рядом Фурье можно представить не только периодический сигнал, но и любой сигнал конечной длительности. В последнем случае сигнал S(t ) принимается периодически продолженным на всœей оси времени. При этом равенство (6.4) или (6.8) представляет сигнал только на интервале его длительности (-Т/2,Т/2 ). Случайный сигнал (или помеха), заданный на интервале (-Т/2,Т/2 ), должна быть также представлен рядом Фурье

где a k и b k являются случайными величинами (для флуктационной помехи – независимыми случайными с нормальным распределœением) .

Ряды Фурье и их применение в технике связи - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Ряды Фурье и их применение в технике связи" 2017, 2018.

ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ И ОПТИМИЗАЦИИ ПОСТАВОК ПРЕДПРИЯТИЯ ОПТОВОЙ ТОРГОВЛИ В АСПЕКТЕ УПРАВЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫМ И АРЕНДУЕМЫМ ТРАНСПОРТОМ

Горлач Борис Алексеевич 1 , Шигаева Наталья Валерьевна 2
1 Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (НИУ), д.т.н, профессор
2 Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева (НИУ)

Аннотация
В работе рассмотрен механизм моделирования случайного процесса (для статистических данных о предприятии) с использованием аппарата гармонического анализа. Решена задача рационального распределения объемов поставок сырья между собственным и арендуемым транспортом с целью сокращения затрат на хранение продукции.

THE FOURIER SERIES APPLICATION FOR PREDICTION AND OPTIMIZATION OF DELIVERY COSTS

Gorlach Boris Alekseevich 1 , Shigaeva Nathalie Valerievna 2
1 Samara State Aerospace University, doctor of technical Sciences, Professor
2 Samara State Aerospace University

Abstract
Тhe mechanism of simulation of a random process is considered (for the enterprise data). Harmonic analysis is widely adopted in modeling of enterprise costs. The problem of rational distribution of the raw materials deliveries between own transport and rented transport is solved.

Библиографическая ссылка на статью:
Горлач Б.А., Шигаева Н.В. Применение рядов фурье для прогнозирования и оптимизации поставок предприятия оптовой торговли в аспекте управления собственным и арендуемым транспортом // Экономика и менеджмент инновационных технологий. 2014. № 7 [Электронный ресурс]..02.2019).

Введение. Издержки предприятия на создание системы хранения товаров создают необходимость рационального распределения поставок. Решение задачи управления поставками связано с изменением потребностей предприятия в сырье. Для разработки модели рационального распределения проделана обработка статистических данных предприятия о спросе на сырье.

Статья состоит из следующих частей: построение модели случайного процесса, оптимизация поставок на примере упрощенной модели и на примере реальных данных.

Часть первая. Построение математической модели случайного процесса.

В ретроспективном периоде статистические данные о хранении ресурса на складе выглядят следующим образом (Таблица 1). Предполагается, что задана совокупность статистических данных Y i =Y(t i) в виде временного ряда.

Таблица 1 – Статистические данные спроса на ресурс

Как правило, математические модели временных рядов экономических процессов представляются в виде совокупности 4 компонент: сезонной S, циклической C, случайной ξ и тренда U. Данные компоненты образуют аддитивную модель статистических данных .

Составляющая U – тренд – подбирается таким образом, чтобы она не противоречила основной тенденции изменения исследуемой функции и не затрудняла ее анализ . В данной работе подбор тренда осуществляется с помощью функций Excel, а также вручную методом «нормальных уравнений».

После выполнения процедуры подбора наиболее адекватного тренда, выполняется нормализация функции, позволяющая обеспечить моделирование колебательной составляющей. В данном исследовании колебательная составляющая подбирается с использованием модели, представляющей собой тригонометрический ряд Фурье:

.

Коэффициенты ряда Фурье определяются следующим образом:

После проведения поиска в 6 итераций с помощью средств Excel была выявлена следующая функция колебательной составляющей:

S(t) = -0.215sinπt/6 – 0.077cos πt/6 -0.085sin πt/3-0.013cos πt/3+0.001 sin πt/2+0.023cosπt/2-0.035 sin2πt/3+0.055cos 2πt/3+0.003 sin 5πt/6+0.054cos 5πt/6+0.056cos πt

Динамика поставок и хранения ресурса на складе, а также функциональная зависимость объема ресурса после осуществления нормализации представлены на рисунке 1.

Рисунок 1 – Колебательная составляющая для реальных данных

Вычислим коэффициент детерминации для полученной функции.

Коэффициент детерминации для полученной функции равен 0,75. Следовательно, тренд описывает статистические данные на 75 процентов, а вероятность несоответствия полученной функции реальным статистическим значениям равна 0,25.

Часть вторая. Оптимизация процесса поставок

При составлении пропорции в поставках сырья следует учитывать несколько факторов, влияющих на показатель экономической эффективности поставок:

Своевременность и частота поставок


Стоимость поставок


Допустимые сроки хранения сырья


Обеспеченность предприятия складскими помещениями


Другие факторы .

Рассмотрим процесс оптимизации поставок на упрощенном графике. Выделим в нормализованном тренде одну гармонику (одно слагаемое гармонического ряда) и ограничимся рассмотрением одного периода. Получится следующая упрощенная функция поставок:

Рассмотрим в данной работе три варианта поставок.

1. Поставки обеспечиваются только собственным транспортом на уровне y=1, которому соответствует значение s(t)=0.

Процесс накопления ресурсов в первом полугодии и расхода во втором полугодии определяется формулой интеграла функции на рассматриваемом участке.

Накопленные ресурсы полностью расходуются в следующем полугодии. Проблема состоит в том, что объем хранения на складе имеет слишком большой разброс во времени и нуждается в оптимизации.

2. Собственный транспорт обеспечивает поставки, соответствующие минимальной интенсивности расходования ресурсов. Этот вариант подходит фирме, если предприятие имеет меньше капитала и в силу других причин не может позволить себе транспорта больше, чем минимальный уровень потребности в ресурсах, выглядит это следующим образом. Предприятие недополучает ресурсы в размере, равном площади интеграла между s(t) и прямой, характеризующей минимальный уровень поставок.

Предположим, что предприятие решило арендовать транспорт на уровне максимальной потребности в ресурсах в первом полугодии, тогда накопления полностью расходуются во втором полугодии.

3. Собственный транспорт обеспечивает поставки на уровне -h. Недостаток ресурсов компенсируется арендой транспорта.

Вычисляем уровень поставок h из условия равенства площадей накопления и расхода :

При полученном значении h недостаток ресурсов без аренды выглядит следующим образом:

Обобщая полученные результаты, составлен общий график накопления/расхода, который показывает, насколько оптимальный план отличается минимальным количеством складских ресурсов (Рисунок 2).

Рисунок 2 – Минимизация складских ресурсов

Исходя из графика, привлечение арендованного транспорта при осуществлении оптимизации хранения на складе позволяет сократить удельный объем хранения на складе до 10 раз, так как амплитуда значений функции накопления уменьшилась с 10 единиц до 1.

Часть 3. Оптимизация поставок на примере реальных данных

Выполнение оптимизации поставок начинается с выделения периода колебательной составляющей (в нашем примере t i ϵ 11..23) и поиска точек пересечения функции s(t) с осью Ox.

Иллюстрация варианта динамики поступления и расхода ресурса на предприятии, в котором транспортная аренда не предусмотрена, представлена на рисунке 3.

Рисунок 3 – Накопление/расход для реальных данных без аренды

Функция колебательной составляющей выглядит следующим образом:

S(t) = -0.215 sin πt/6-0.077cos πt/6 -0.085 sin πt/3-0.013cos πt/3+0.001 sin πt/2+0.023cos πt/2-0.035 sin 2πt/3+0.055cos 2πt/3+0.003 sin 5πt/6+0.054cos 5πt/6+0.056cos πt

Функция накопления:

Q = ∫S = (1/π)(0.215 *6* cos (πt/6)-0.077*6*sin (πt/6) +0.085*3*cos πt/3 – 0.013*3*sin πt/3 – 0.0013*2*cos πt/2+(0.023*2*sin πt/2+0.0349*6/4 cos 2πt/3+(0.0552*6/4)sin 2πt/3 – (0.0032*6/5) cos 5πt/6 + (0.0538*6/5)sin 5πt/6 + (0.0559*sin π t)

Определим максимальные площади запаса и расхода для функции поставок, при условии равенства нулю интенсивности поставок s(t).

Таблица 2 – Определение площадей запаса и расхода ресурса

Таким образом, Q max =0,9078 – это максимально возможное количество хранимых на складе ресурсов. Ресурсы, накопленные в первом полугодии, полностью расходуются во втором, т.к. тригонометрические функции имеют свойство симметричности.

Оптимизация с привлечением арендованного транспорта – эффективный способ снижения издержек на хранение ресурса на складе. Уровень поставок предприятия собственным транспортом задается величиной Y(t)=1-h , либо S(t)=-h из условия равенства площадей накопления и расхода по полугодиям (рисунок 4).

Рисунок 4 – Определение уровня поставок арендованным транспортом

В этом случае останется потребность в ресурсе в объеме, определяемом площадью прямоугольника с высотой h и основанием, составляющим весь интервал рассмотрения, равного (из свойств симметричности) площади интеграла циклической составляющей над прямой уровня поставок собственным транспортом. Предприятие арендует транспорт на части рассмотренного интервала . Уровень поставок арендуемым транспортом определится из равенства площадей недостатка ресурса (2) и объема аренды (1), изображенных на рисунке 4.

Поиск уровней h осуществляется итерационно. В варианте привлечения арендованных транспортных средств максимальный уровень хранения запасов на складе равен:

Верхний уровень h* находим из условия равенства площадей невосполненного спроса (1) на ресурсы и объема поставок (2), обозначенных на рисунке 4. Уровень аренды определен значением h*=0,144.

После проведения оптимизации была найдена площадь расхода и запаса:

Итоговая площадь запасов сократилась с 0,9 до 0,5:

Q max2 =0,2016+ 0,3137=0,515

Таким образом, оптимизация процесса поставок с помощью арендуемого транспорта дала сокращение складских расходов на 44%, что указывает на успешное выполнение задачи оптимизации.

Результаты и выводы . Предложенный алгоритм рационального распределения поставок между собственным транспортом предприятия и арендуемым в ходе моделирования функции издержек рядом Фурье опирается на характерные особенности нормализованного графика тренда, учитывает ограничения складских площадей, сроки хранения сырья, обеспечивает сокращение складских расходов (уровня хранения ресурсов на складе) до 50% раз для рассмотренных данных функции поставок. Таким образом, привлечение арендованного транспорта является эффективным способом сокращения складских расходов и издержек на хранение при высокой стоимости аренды и содержания складских помещений.

Библиографический список

1. Савельев Г.Л. Задача оптимизации ресурсов предприятия в условиях циклического изменения потребности. – Самара: СГАУ, 2010. – 30 стр.
2. Чуйкова Ю.С. Оптимизация материального потока в задаче управления запасами предприятия /Сборник научных статей «Управление организационно-экономическими системами». – Самара: СГАУ, 2009. – с. 25-30.
3. Rardin R.L. Optimization in Operations Research. Prentice Hall, 1998.

Количество просмотров публикации: Please wait

Введение

Частным случаем функциональных рядов являются тригонометрические ряды. К изучению тригонометрических рядов привела известная проблема звучащей струны, над которой работали такие математики как Эйлер, Даламбер, Фурье и другие.

В настоящее время тригонометрические ряды, наряду со степенными рядами, играют важную роль в науке и технике.

1.Тригонометрическая система функций. Ряд Фурье.

Определение. Последовательность функций

1, cosx, sinx,cos2x, sin2x, … , cosnx, sinnx, …

называется тригонометрической системой функций.

Для тригонометрической системы функций справедливы следующие равенства:

π ∫ cos nxdx=	π ∫ sin nxdx=	π ∫ cosnx sinmxdx = 0, (n ≥ 1),
−π	−π	−π
π ∫ cosnx cosmxdx = π ∫ sinnx sinmxdx = 0, (n ≠ m ),
−π	−π
π ∫ cos2 nxdx = π ∫ sin2 nxdx = π , (n ≥ 1).
−π	−π

Эти равенства легко доказываются с помощью известных формул тригонометрии:

	cos nx sinmx =						(sin(n + m )x − sin(n − m )x ),
	cos nx cosmx =						(cos(n + m )x + cos(n − m )x ),
	sin nx sinmx =					(cos(n − m )x − cos(n + m )x ).

	Совокупность					равенств				называется	ортогональностью
	тригонометрической системы.
	Пусть f(x) – интегрируемая на отрезке [-π ,π ] функция и
	a n=			∫ f (x ) cosnxdx ,b n =				∫ f (x ) sinnxdx , (n = 0,1,2,...).
			−π					−π
	Определение.					Функциональный ряд
					+ ∑ (a n cosnx + b n sinx ),
					n= 1

в котором коэффициенты a n , b n определены формулами (2), называется

тригонометрическим рядом Фурье функции f (x ) , а сами коэффициенты –

коэффициентами Фурье.

Тот факт, что ряд (3) является тригонометрическим рядом Фурье функции f (x ) , записывается следующим образом:

	f (x)		+ ∑ (a n cosnx + b n sinx )
			n= 1

Каждое слагаемое ряда (4) называется гармоническим колебанием. В ряде прикладных задач требуется представить периодическую функцию в виде ряда (4), то есть в виде суммы гармонических колебаний.

2.Разложение в ряд Фурье периодических функций с периодом 2π .

Определение. Говорят, что функция f(x) кусочно-непрерывна на отрезке

Если f(x) непрерывна на отрезке за исключением, быть может, конечного числа точек, в каждой из которых функция f(x) имеет пределы справа и слева.

Сформулируем теорему, которая дает достаточные условия сходимости тригонометрического ряда.

Теорема Дирихле . Пусть периодическая периода 2π функция f(x) удовлетворяет условиям:

1) f (x ) иf ′ (x ) кусочно-непрерывны на отрезке [-π ,π ];

2) если х=с – точка разрыва функции f(x), то

f (c )= 1 2 (f (c − 0)+ f (c + 0)).

Тогда тригонометрический ряд Фурье функции f(x) сходится к f(x), то есть имеет место равенство

	f (x) =		+ ∑ (a n cosnx + b n sinnx ),
			n= 1

где коэффициенты a n , b n определяются формулами (2).

Доказательство. Пусть имеет место равенство (4) и пусть ряд (4) допускает почленное интегрирование. Найдем коэффициенты в равенстве (4). Для этого умножим обе части равенства (4) на cosnx и проинтегрируем его в пределах от -π доπ ; в силу ортогональности тригонометрической системы получимa n . Аналогично, умножая на sinnx и интегрируя, получимb n .

3.Ряды Фурье четных и нечетных функций.

Следствие 1 (ряд Фурье для четной функции). Пусть четная функция f(x)

удовлетворяет условиям теоремы Дирихле.

		f (x) =					+ ∑ a n cosnx ,
							n= 1
					π ∫ cosnxdx , (n = 0,1,2,3,...).

Следствие 2 (ряд Фурье для нечетной функции). Пусть нечетная функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы Дирихле.

Тогда имеет место следующее разложение в ряд Фурье

	f (x )= ∑ b n sinnx ,
					n= 1
					π ∫ f(x) sin nxdx.

Для доказательства следствий 1 и 2 воспользуемся следующей леммой, которая геометрически очевидна (интеграл как площадь).

Лемма. Пусть на отрезке [-a,a] заданы две интегрируемые функции: четная функция g(x) и нечетная функция h(x).

Тогда справедливы равенства

∫ a g(x) dx= 2 ∫ a g(x) dx,		∫ a h(x) dx= 0.
−a		−a

Пример1. Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=x, (x [-π ,π ].

Так как функция нечетная, то согласно формулам (8) и (7) будем иметь:

2 π

n + 12

b n=

∫0

x sin nxdx= −

∫0

xd cos nx=−

cosπ n = (− 1)

(− 1)

n+ 1

x = 2 ∑

sin nx ,x ]− π ,π [.

n= 1

В точках х=±π сумма этого ряда равна нулю.

Полагая в ряде (9) х = π 2 , получим условно сходящийся ряд

(− 1)

n+ 1

= ∑

1 −

+ ...

2n + 1

n= 0

Упражнения

1. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f (x ) с периодом 2π

0 ≤ x ≤ π ,

f (x) =

−π ≤x <0.

2. Разложить в ряд Фурье функцию f (x ) с периодом 2π

−π ≤x ≤0,

0 < x < π ,

f (x) = x

x = π .

f (x) =

−π ≤x <π ,

f (x) =

x = π .

f (x )= x .

			−π ≤x <0,
f (x) =			0 ≤ x ≤ π .
−1

7. Разложить на отрезке [ 0,π ] в тригонометрический ряд Фурье по косинусам функцию

	0 ≤x ≤
f (x) =

< x ≤ π .

8. Разложить на отрезке

			0 ≤x ≤
f (x) =
				< x ≤π .
π − x

f (x )= 2x .

f (x) = ex .

Контрольные вопросы по теме занятия:

1. Напомните определение ряда Фурье.

2. Дайте определение сходимости функционального ряда Фурье.

Заключение.

Введение.

Ряд Фурье составляет значительную часть теории тригонометрических рядов. Впервые ряд Фурье появился в работах Ж. Фурье (1807 г.), посвященных исследованию задач теплопроводности. В дальнейшем ряды Фурье получили широкое распространение как в теоретической, так и в прикладной математики. Так, при изучении темы «Уравнения математической физики» ряды Фурье применяются для нахождения решений уравнения теплопроводности, волнового уравнения с различными начальными и краевыми условиями. Значительное распространение получил также интегральное преобразование Фурье, которое применяется к широкому классу функций.

При разделении переменных во многих задачах математической физики, в частности в краевых задачах теории потенциала для цилиндрической области, приходят к решению так называемых уравнений Бесселя.

Первым систематическое изучение решения уравнения уравнений такого типа предпринял Ф. Бессель, но еще раньше они встречались в работах Д. Бернулли, Л. Эйлера, Ж. Лагранжа.

1. Ряды Фурье функций с любым периодом 2L.

В ряд Фурье можно разлагать функции любого периода 2L. Имеет место следующая теорема.

Теорема. Пусть периодическая периода 2L функция f(x) на отрезке [-L,L] удовлеиворяет условиям теоремы Дирихле.

Тогда на отрезке [-L,L] имеет место разложение в ряд Фурье

π nx

π nx ),

f (x) =

∑ (a n cos

n= 1

a n=

f (x ) cos

π nx dx ,

b n=

f (x ) sin

π nx dx

L − ∫ L

L − ∫ L

(n = 0,1,2,...)

Доказательство. Рассмотрим функцию

g (y )= f (

−π ≤y ≤π ,

к которой применима теорема Дирихле. Поэтому

g (y )=

+ ∑ (a n cosny + b n sinny ),

n= 1

π ∫f (

) cos nydy ,

π∫

)sin nydy .

−π

−π

равенствах (12)

подстановку x =

Получим требуемые

равенства (10) и (11).

Замечание. Если функция f(x) – четная на отрезке [-L,L], то ее

ряд Фурье будет содержать только свободный член a 2 0 и косинусы, если же

f(x) – нечетная функция, то ее ряд Фурье будет содержать только синусы. Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) с периодом 2, которая на

отрезке [-1,1] задается формулой f(x)=| x| .

Так как функция f(x)=| x|

Четная, то b n = 0,

2 ∫ 1

xdx = 1,

0, n = 2m ,

an = 2 ∫ xcos π nxdx=

((− 1)

− 1)=

N = 2m + 1.

Следовательно,

cosπ (2m + 1)x

X R .

(2m + 1)

m= 1

При x=0 формула (14) дает:

π 2

+…

2. Ряды Фурье непериодических функций.

Пусть непериодическая функция f(x) определена на отрезке [-L,L]. Для того, чтобы разложить ее в тригонометрический ряд, на этом отрезке строим

g(x)=f(x) при -L
	непериодическую функцию		f(x) требуется	представить

Фурье на интервале ]0,L[. Для этого строим периодическую функцию g(x) периода 2L

f (x ),0< x < L ,g (x ) = f 1((x ),− L < x < 0.

Так как функцию f 1 (x ) можно выбрать бесчисленным количеством

способов (лишь бы g(x) удовлетворяла условиям теоремы Дирихле), то получаем бесконечное множество рядов Фурье

для функции g(x).

В частности, функцию g(x) можно выбрать четной или нечетной.

Пусть, теперь, непериодическая функция f(x) определена на некотором интервале ]a,b[. Для того, чтобы эту функцию представить

рядом Фурье, строим произвольную периодическую функцию f 1 (x ) с

периодом 2L≥ b-a, совпадающую на интервале ]a,b[ с функцией f(x), и и раскладываем ее в ряд Фурье.

3. Комплексная форма ряда Фурье.

Преобразуем ряд (10) и его кэффициенты (11) с помощью формул Эйлера

(ω n = π L n )

cosω n x =	e iω n x+ e − iω n x		sinω n x =	e iω n x− e − iω n x

В результате получим ряд

			f (x) = ∑ cn ei ω n x
				n =−∞
	с коэффициентами
	c n=		∫L	f (x )e − i ω n x dx ,n = 0,± 1,± 2,...,
			−L

который называется тригонометрическим рядом Фурье в комплексной форме

функции f(x) периода 2L.

Принята, особенно в электротехнике и радиотехнике, следующая терминология. Выражения e i ω n x называютсягармониками,

числа ω n называютсяволновыми числами функции f(x). Совокупность волновых

чисел называется дискретным спектром. Коэффициенты (16) называюткомплексной амплитудой.

Изучением свойств кэффициентов (16) занимается спектральный анализ. Пример 3. Найти тригонометрический ряд Фурье в комплексной форме

функции f(x)=e ax , (a≠ 0), при L=π .

Формулы (15) и (16) дают:

shaπ

n ∑ =−∞

(− 1)e

a − in

Переходя к обычному ряду Фурье, получим:

shaπ

2 shaπ

(− 1)n (a cosnx − n sinnx )

n= 1

В частности, при х=0 будем иметь:

(− 1)

2 ashaπ

n= 1

a + n

Упражнения

	Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f (x ) с периодом 2π
			0 ≤ x ≤ π ,
							x = π .
3. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную в промежутке [ − 1,1] уравнением
4. Разложить в ряд Фурье функцию			f (x) =
					−π ≤x <π ,
f (x) =
							x = π .

5. Разложить по синусам в промежутке [ 0,1] функцию

f (x )= x .

6. Найти коэффициенты Фурье функции f (x ) тригонометрического ряда

			−π ≤x <0,
f (x) =			0 ≤ x ≤ π .
−1
7. Разложить на отрезке [ 0,π ] в тригонометрический ряд Фурье по косинусам
			0 ≤x ≤
f (x) =

< x ≤ π .

8. Разложить на отрезке [ 0,π ] в тригонометрический ряд Фурье по косинусам0 при 2

			0 ≤x ≤
f (x) =
				< x ≤π .
π − x

9. В промежутке [ 0,1] разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию

f (x )= 2x .

10. В промежутке [ − 1,1] разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию

f (x) = ex .

Заключение.

В лекции были рассмотрены ряды Фурье функций периодических на разных интервалах. Рассмотрено преобразование Фурье, а также получено решение уравнения Бесселя, возникающего при разделении переменных во многих задачах математической физики.

Введение.

В лекции рассматриваются предельный случай ряда Фурье, приводящий к интегралу Фурье. Записываются формулы интеграла Фурье для четных и нечетных функций. Отмечается, какую роль играет интеграл Фурье в различных приложениях. Интеграл Фурье представляется в комплексной форме, которая аналогична комплексному представлению ряда Фурье.

Будут получены формулы для преобразования и обратного преобразования Фурье, косинус и синус преобразования Фурье. Приводятся сведения о применении преобразования Фурье к задачам математической физики, электротехники.

1.Интеграл Фурье, как предельный случай ряда Фурье

Пусть функция f(x) определена на бесконечном интервале

]-∞ ,∞ [ и абсолютно интегрируема на нем, то есть существует сходящийся интеграл

∞ ∫ f(x) dx.

f (x) =

+ ∑ (a n cosω n x + b n sinω n x ),

n= 1

a n=

∫ f (x ) cosω n xdx ,b n =

∫ f(x)sin ω n xdx,

−L

−L

Подставляя в ряд (1) коэффициенты (2), получим:

f (x) =

∫ f(t) dt+

∑ ((∫ f (t ) cosω n tdt ) cosω n x + (∫ f (t ) sinω n tdt ) sinω n x ))

−L

L n = 1

−L

−L

Укажем без доказательства, что при L→ формула (3) примет вид

f (x) =

∫(∫

f (t ) cosω tdt ) cosω xd ω +

∫ (∫ f (t ) sinω tdt ) sinω xd ω .

0 −∞

Выражение, стоящее справа в формуле (4), называется интегралом Фурье для функции f(x). Равенство (4) имеет место для всех точек, где функция непрерывна. В точках разрыва f(x) в левой части формулы (4) нужно заменить на

Вам могут быть интересны следующие материалы

Отношения

Интерьер

Дети

Красота

Фигура

Здоровье

© 2020 Женские секреты. Отношения, красота, дети, мода