Свойства простых чисел. Как проверить, является ли число простым
Все остальные натуральные числа называются составными . Натуральное число 1 не является ни простым, ни составным.
Пример
Задание. Какие из записанных ниже натуральных чисел являются простыми:
Ответ.
Разложение числа на множители
Представление натурального числа в виде произведения натуральных чисел называется разложением на множители . Если в разложении на множители натурального числа все множители простые числа, то такое разложение называется разложением на простые множители .
Теорема
(Основная теорема арифметики)
Каждое натуральное число, отличное от 1, может быть разложено на простые множители, и притом единственным образом (если отождествлять разложения и , где и - простые числа).
Объединяя в разложении числа одинаковые простые сомножители, получаем так называемое каноническое разложение числа :
где , - различные простые числа, а - натуральные числа.
Пример
Задание. Найти каноническое разложение чисел:
Решение. Для нахождения канонического разложения чисел нужно сначала разложить их на простые множители, а затем объединить одинаковые множители и записать их произведение в виде степени с натуральным показателем:
Ответ.
Историческая справка
Как определить, какое число простое, а какое нет? Наиболее распространенным методом позволяющим найти все простые числа в любом числовом отрезке, предложил в III в. до н. э. Эратосфен (метод называется "решето Эратосфена"). Предположим, что нам нужно установить, какие из чисел являются простыми. Выпишем их в ряд и вычеркнем каждое второе число из следующих за числом 2 - все они составные, так как кратны числу 2. Первое из оставшихся невычеркнутых чисел - 3 - является простым. Вычеркнем каждое третье число из следующих за числом 3; следующее из невычеркнутых чисел - 5 - также будет простым. По тому же принципу вычеркнем каждое пятое число из следующих за числом 5 и вообще каждое -е из следующих за числом . Все оставшиеся невычеркнутыми числа будут простыми.
С увеличением простые числа постепенно встречаются все реже и реже. Однако уже древним был хорошо известен тот факт, что их бесконечно много. Его доказательство приводится в "Началах" Евклида.
- Перевод
Свойства простых чисел впервые начали изучать математики Древней Греции. Математики пифагорейской школы (500 - 300 до н.э.) в первую очередь интересовались мистическими и нумерологическими свойствами простых чисел. Они первыми пришли к идеям о совершенных и дружественных числах.
У совершенного числа сумма его собственных делителей равна ему самому. Например, собственные делители числа 6: 1, 2 и 3. 1 + 2 + 3 = 6. У числа 28 делители - это 1, 2, 4, 7 и 14. При этом, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
Числа называются дружественными, если сумма собственных делителей одного числа равна другому, и наоборот – например, 220 и 284. Можно сказать, что совершенное число является дружественным для самого себя.
Ко времени появления работы Евклида «Начала» в 300 году до н.э. уже было доказано несколько важных фактов касательно простых чисел. В книге IX «Начал» Эвклид доказал, что простых чисел бесконечное количество. Это, кстати, один из первых примеров использования доказательства от противного. Также он доказывает Основную теорему арифметики – каждое целое число можно представить единственным образом в виде произведения простых чисел.
Также он показал, что если число 2 n -1 является простым, то число 2 n-1 * (2 n -1) будет совершенным. Другой математик, Эйлер, в 1747 году сумел показать, что все чётные совершенные числа можно записать в таком виде. По сей день неизвестно, существуют ли нечётные совершенные числа.
В году 200 году до н.э. грек Эратосфен придумал алгоритм для поиска простых чисел под названием «Решето Эратосфена».
А затем случился большой перерыв в истории исследования простых чисел, связанный со Средними веками.
Следующие открытия были сделаны уже в начале 17-го века математиком Ферма. Он доказал гипотезу Альбера Жирара, что любое простое число вида 4n+1 можно записать уникальным образом в виде суммы двух квадратов, и также сформулировал теорему о том, что любое число можно представить в виде суммы четырёх квадратов.
Он разработал новый метод факторизации больших чисел, и продемонстрировал его на числе 2027651281 = 44021 × 46061. Также он доказал Малую теорему Ферма: если p – простое число, то для любого целого a будет верно a p = a modulo p.
Это утверждение доказывает половину того, что было известно как «китайская гипотеза», и датируется 2000 годами ранее: целое n является простым тогда и только тогда, если 2 n -2 делится на n. Вторая часть гипотезы оказалась ложной – к примеру, 2 341 - 2 делится на 341, хотя число 341 составное: 341 = 31 × 11.
Малая теорема Ферма послужила основой множества других результатов в теории чисел и методов проверки чисел на принадлежность к простым – многие из которых используются и по сей день.
Ферма много переписывался со своими современниками, в особенности с монахом по имени Марен Мерсенн. В одном из писем он высказал гипотезу о том, что числа вида 2 n +1 всегда будут простыми, если n является степенью двойки. Он проверил это для n = 1, 2, 4, 8 и 16, и был уверен, что в случае, когда n не является степенью двойки, число не обязательно получалось простым. Эти числа называются числами Ферма, и лишь через 100 лет Эйлер показал, что следующее число, 2 32 + 1 = 4294967297 делится на 641, и следовательно, не является простым.
Числа вида 2 n - 1 также служили предметом исследований, поскольку легко показать, что если n – составное, то и само число тоже составное. Эти числа называют числами Мерсенна, поскольку он активно их изучал.
Но не все числа вида 2 n - 1, где n – простое, являются простыми. К примеру, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Впервые это обнаружили в 1536 году.
Многие годы числа такого вида давали математикам наибольшие известные простые числа. Что число M 19 , было доказано Катальди в 1588 году, и в течение 200 лет было наибольшим известным простым числом, пока Эйлер не доказал, что M 31 также простое. Этот рекорд продержался ещё сто лет, а затем Люкас показал, что M 127 - простое (а это уже число из 39 цифр), и после него исследования продолжились уже с появлением компьютеров.
В 1952 была доказана простота чисел M 521 , M 607 , M 1279 , M 2203 и M 2281 .
К 2005 году найдено 42 простых чисел Мерсенна. Наибольшее из них, M 25964951 , состоит из 7816230 цифр.
Работа Эйлера оказала огромное влияние на теорию чисел, в том числе и простых. Он расширил Малую теорему Ферма и ввёл φ-функцию. Факторизовал 5-е число Ферма 2 32 +1, нашёл 60 пар дружественных чисел, и сформулировал (но не смог доказать) квадратичный закон взаимности.
Он первым ввёл методы математического анализа и разработал аналитическую теорию чисел. Он доказал, что не только гармонический ряд ∑ (1/n), но и ряд вида
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…
Получаемый суммой величин, обратных к простым числам, также расходится. Сумма n членов гармонического ряда растёт примерно как log(n), а второй ряд расходится медленнее, как log[ log(n) ]. Это значит, что, например, сумма обратных величин ко всем найденным на сегодняшний день простым числам даст всего 4, хотя ряд всё равно расходится.
На первый взгляд кажется, что простые числа распределены среди целых довольно случайно. К примеру, среди 100 чисел, идущих прямо перед 10000000, встречается 9 простых, а среди 100 чисел, идущих сразу после этого значения – всего 2. Но на больших отрезках простые числа распределены достаточно равномерно. Лежандр и Гаусс занимались вопросами их распределения. Гаусс как-то рассказывал другу, что в любые свободные 15 минут он всегда подсчитывает количество простых в очередной 1000 чисел. К концу жизни он сосчитал все простые числа в промежутке до 3 миллионов. Лежандр и Гаусс одинаково вычислили, что для больших n плотность простых чисел составляет 1/log(n). Лежандр оценил количество простых чисел в промежутке от 1 до n, как
π(n) = n/(log(n) - 1.08366)
А Гаусс – как логарифмический интеграл
π(n) = ∫ 1/log(t) dt
С промежутком интегрирования от 2 до n.
Утверждение о плотности простых чисел 1/log(n) известно как Теорема о распределении простых чисел. Её пытались доказать в течение всего 19 века, а прогресса достигли Чебышёв и Риман. Они связали её с гипотезой Римана – по сию пору не доказанной гипотезой о распределении нулей дзета-функции Римана. Плотность простых чисел была одновременно доказана Адамаром и Валле-Пуссеном в 1896 году.
В теории простых чисел есть ещё множество нерешённых вопросов, некоторым из которых уже многие сотни лет:
- гипотеза о простых числах-близнецах – о бесконечном количестве пар простых чисел, отличающихся друг от друга на 2
- гипотеза Гольдбаха: любое чётное число, начиная с 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел
- бесконечно ли количество простых чисел вида n 2 + 1 ?
- всегда ли можно найти простое число между n 2 and (n + 1) 2 ? (факт, что между n и 2n всегда есть простое число, было доказан Чебышёвым)
- бесконечно ли число простых чисел Ферма? есть ли вообще простые числа Ферма после 4-го?
- существует ли арифметическая прогрессия из последовательных простых чисел для любой заданной длины? например, для длины 4: 251, 257, 263, 269. Максимальная из найденных длина равна 26 .
- бесконечно ли число наборов из трёх последовательных простых чисел в арифметической прогрессии?
- n 2 - n + 41 – простое число для 0 ≤ n ≤ 40. Бесконечно ли количество таких простых чисел? Тот же вопрос для формулы n 2 - 79 n + 1601. Эти числа простые для 0 ≤ n ≤ 79.
- бесконечно ли количество простых чисел вида n# + 1? (n# - результат перемножения всех простых чисел, меньших n)
- бесконечно ли количество простых чисел вида n# -1 ?
- бесконечно ли количество простых чисел вида n! + 1?
- бесконечно ли количество простых чисел вида n! – 1?
- если p – простое, всегда ли 2 p -1 не содержит среди множителей квадратов простых чисел
- содержит ли последовательность Фибоначчи бесконечное количество простых чисел?
Самые большие близнецы среди простых чисел – это 2003663613 × 2 195000 ± 1. Они состоят из 58711 цифр, и были найдены в 2007 году.
Самое большое факториальное простое число (вида n! ± 1) – это 147855! - 1. Оно состоит из 142891 цифр и было найдено в 2002.
Наибольшее праймориальное простое число (число вида n# ± 1) – это 1098133# + 1.
Теги: Добавить метки
Простые числа представляют собой одно из самых интересных математических явлений, которое привлекает к себе внимание ученых и простых граждан на протяжении уже более двух тысячелетий. Несмотря на то, что сейчас мы живем в век компьютеров и самых современных информационных программ, многие загадки простых чисел не решены до сих пор, есть даже такие, к которым ученые не знают, как подступиться.
Простые числа - это, как известно еще из курса элементарной арифметики, те которые делятся без остатка только на единицу и самое себя. Кстати, если натуральное число делится, кроме выше перечисленных, еще на какое-либо число, то оно именуется составным. Одна из самых знаменитых теорем гласит, что любое составное число может быть представлено в виде единственно возможного произведения простых чисел.
Несколько любопытных фактов. Во-первых, единица является уникальной в том плане, что, по сути, не принадлежит ни к простым, ни к составным числам. В то же время в научной среде все же принято относить ее именно к первой группе, так как формально она полностью удовлетворяет ее требованиям.
Во-вторых, единственным четным числом, затесавшимся в группу «простые числа» является, естественно, двойка. Любое другое четное число сюда попасть попросту не может, так как уже по определению, кроме себя и единицы, делится еще и на два.
Простые числа, список которых, как было указано выше, можно начинать с единицы, представляют собой бесконечный ряд, такой же бесконечный, как и ряд натуральных чисел. Опираясь на основную теорему арифметики, можно прийти к выводу, что простые числа никогда не прерываются и никогда не заканчиваются, так как в противном случае неизбежно прервался бы и ряд натуральных чисел.
Простые числа не появляются в натуральном ряду беспорядочно, как это может показаться на первый взгляд. Внимательно проанализировав их, можно сразу заметить несколько особенностей, наиболее любопытные из которых связаны с так называемыми числами-«близнецами». Называют их так потому, что каким-то непостижимым образом они оказались по соседству друг с другом, разделенные только четным разграничителем (пять и семь, семнадцать и девятнадцать).
Если внимательно к ним присмотреться, то можно заметить, что сумма этих чисел всегда кратна трем. Более того, при делении на тройку левого собрата в остатке всегда остается двойка, а правого - единица. Кроме того, само распределение этих чисел по натуральному ряду можно спрогнозировать, если представить весь этот ряд в виде колебательных синусоид, основные точки которых образуются при делении чисел на три и два.
Простые числа являются не только объектом пристального рассмотрения со стороны математиков всего мира, но уже давно и успешно используются в составлении различных рядов чисел, что является основой, в том числе, для шифрографии. При этом следует признать, что огромное количество загадок, связанных с этими замечательными элементами, все еще ждут своих разгадок, многие вопросы имеют не только философское, но и практичное значение.
Определение 1. Простое число − это натуральное число больше единицы, которое делится только на себя и на 1.
Другими словами число является простым, если имеет только два различных натуральных делителя.
Определение 2. Любое натуральное число, которое кроме самого себя и единицы имеет и других делителей, называется составным числом.
Другими словами натуральные числа, не являющиеся простыми числами, называются составными. Из определения 1 следует, что составное число имеет больше двух натуральных делителей. Число 1 не является ни простым, ни составным т.к. имеет только один делитель 1 и, кроме этого многие теоремы относительно простых чисел не имеют места для единицы.
Из определений 1 и 2 следует, что каждое целое положительное число больше 1 является либо простым, либо составным числом.
Ниже представлена программа для отображения простых чисел до 5000. Заполните ячейки, нажмите на кнопку "Создать" и подождите несколько секунд.
Таблица простых чисел
Утверждение 1. Если p - простое число и a любое целое число, то либо a делится на p , либо p и a взаимно простые числа.
Действительно. Если p простое число, то оно делится только на себя и на 1, если a не делится на p , то наибольший общий делитель a и p равен 1. Тогда p и a взаимно простые числа.
Утверждение 2. Если произведение нескольких чисел чисел a 1 , a 2 , a 3 , ... делится на простое число p , то по крайней мере одно из чисел a 1 , a 2 , a 3 , ... делится на p .
Действительно. Если бы ни одно из чисел не делилось на p , то числа a 1 , a 2 , a 3 , ... были бы взаимно простые числа по отношению p . Но из следствия 3 () следует, что их произведение a 1 , a 2 , a 3 , ... также взаимно простое по отношению к p , что противоречит условию утверждения. Следовательно по крайней мере один из чисел делится на p .
Теорема 1. Любое составное число всегда может быть представлено и притом единственным способом в виде произведения конечного числа простых чисел.
Доказательство. Пусть k составное число, и пусть a 1 один из его делителей отличное от 1 и самого себя. Если a 1 составное, то имеет кроме 1 и a 1 и другой делитель a 2 . Если a 2 число составное, то имеет кроме 1 и a 2 и другой делитель a 3 . Рассуждая таким образом и учитывая, что числа a 1 , a 2 , a 3 , ... убывают и этот ряд содержит конечное число членов, мы дойдем какого-то простого числа p 1 . Тогда k можно представить в виде
Допустим существует два разложения числа k :
Так как k=p 1 p 2 p 3 ... делится на простое число q 1 , то по крайней мере один из множителей, например p 1 делится на q 1 . Но p 1 простое число и делится только на 1 и на себя. Следовательно p 1 =q 1 (т.к. q 1 ≠1)
Тогда из (2) можно исключить p 1 и q 1:
Таким образом убеждаемся, что всякое простое число входящее множителем в первое разложение один или несколько раз, входит и во второе разложение минимум столько же раз и наоборот, всякое простое число, которое входит множителем во второе разложение один или несколько раз входит и в первое разложение минимум столько же раз. Следовательно любое простое число входит множителем в оба разложения одинаковое число раз и, таким образом, эти два разложения одинаковы.■
Разложение составного числа k можно записать в следующем виде
| (3) |
где p 1 , p 2 , ... различные простые числа, α, β, γ ... целые положительные числа.
Разложение (3) называется каноническим разложением числа.
Простые числа в ряду натуральных чисел встречаются неравномерно. В одних частях ряда их больше, в других - меньше. Чем дальше мы продвигаемся по числовому ряду, тем реже встречаются простые числа. Возникает вопрос, существует ли самое большое простое число? Древнегреческий математик Евклид доказал, что простых чисел бесконечно много. Ниже мы представим это доказательство.
Теорема 2. Количество простых чисел бесконечно много.
Доказательство. Предположим, что существует конечное число простых чисел, и пусть наибольшее простое число равно p . Рассмотрим все числа больше p . По предположению утверждения эти числа должны быть составными и должны делится по крайней мере на один из простых чисел. Выберем число, являющиеся произведением всех этих простых чисел плюс 1:
Число z больше p так как 2p уже больше p . p не делится ни на одно из этих простых чисел, т.к. при делении на каждое из них дает остаток 1. Таким образом мы приходим к противоречию. Следовательно существует бесчисленное множество простых чисел.
Данная теорема является частным случаем более общей теоремы:
Теорема 3. Пусть задана арифметическая прогрессия
Тогда любое простое число, входящее в n , должно входить и в m , поэтому в n не могут входить другие простые множители, которые не входят в m и притом эти простые множители в n входят не более число раз, чем в m .
Справедливо и обратное. Если каждый простой множитель числа n входит по крайней мере столько же раз в число m , то m делится на n .
Утверждение 3. Пусть a 1 ,a 2 ,a 3 ,... различные простые числа входящие в m так, что
где i =0,1,...α , j =0,1,...,β , k=0,1,...,γ . Заметим, что α i принимает α +1 значений, β j принимает β +1 значений, γ k принимает γ +1 значений, ... .
