Найти расстояние между параллельными прямыми в пространстве. Расстояние между двумя параллельными прямыми: определение и примеры нахождения
В данной статье на примере решения задачи C2 из ЕГЭ разобран способ нахождения с помощью метода координат. Напомним, что прямые являются скрещивающи-мися, если они не лежат в одной плоскости. В частности, если одна прямая лежит в плоскости, а вторая прямая пересекает эту плоскость в точке, которая не лежит на первой прямой, то такие прямые являются скрещивающимися (см. рисунок).
Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми необходимо:
- Провести через одну из скрещивающихся прямых плоскость, которая параллельна другой скрещивающейся прямой.
- Опустить перпендикуляр из любой точки второй прямой на полученную плоскость. Длина этого перпендикуляра будет являться искомым расстоянием между прямыми.
Разберем данный алгоритм подробнее на примере решения задачи C2 из ЕГЭ по математике.
Расстояние между прямыми в пространстве
Задача. В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите расстояние между прямыми BA 1 и DB 1 .
Рис. 1. Чертеж к задаче
Решение. Через середину диагонали куба DB 1 (точку O ) проведем прямую, параллельную прямой A 1 B . Точки пересечения данной прямой с ребрами BC и A 1 D 1 обозначаем соответственно N и M . Прямая MN лежит в плоскости MNB 1 и параллельна прямой A 1 B , которая в этой плоскости не лежит. Это означает, что прямая A 1 B параллельна плоскости MNB 1 по признаку параллельности прямой и плоскости (рис. 2).
Рис. 2. Искомое расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки выделенной прямой до изображенной плоскости
Ищем теперь расстояние от какой-нибудь точки прямой A 1 B до плоскости MNB 1 . Это расстояние по определению будет являться искомым расстоянием между скрещивающимися прямыми.
Для нахождения этого расстояния воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную декартову систему координат таким образом, чтобы ее начало совпало с точкой B, ось X была направлена вдоль ребра BA , ось Y — вдоль ребра BC , ось Z — вдоль ребра BB 1 (рис. 3).
Рис. 3. Прямоугольную декартову систему координат выберем так, как показано на рисунке
Находим уравнение плоскости MNB
1 в данной системе координат. Для этого определяем сперва координаты точек M
, N
и B
1: 
Полученные координаты подставляем в общее уравнение прямой и получаем следующую систему уравнений:
Из второго уравнения системы получаем из третьего получаем после чего из первого получаем Подставляем полученные значения в общее уравнение прямой:
Замечаем, что иначе плоскость MNB 1 проходила бы через начало координат. Делим обе части этого уравнения на и получаем:
Расстояние от точки до плоскости определяется по формуле.
План-конспект урока
Теорема о сумме углов треугольника
1. ФИО : Сайфетдинова Гульнара Василевна
2. Место работы : Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Князевская средняя общеобразовательная школа» Тукаевского района РТ
3. Должность : учитель математики
4. Предмет : геометрия
5. Класс : 7 класс
6. Тема урока : Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми.
7. Базовый учебник : Геометрия.7-9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений / авт. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов,
С.Б. Кадомцев и др.,2010
8.Цели:
Деятельностная цель: создать условия для самостоятельного формулирования и доказательства свойства наклонных и перпедикуляра, опущенных из точки на прямую, теоремы о равноудаленности точек на параллельных прямых; организовать деятельность обучающихся по восприятию, осмыслению и первичному закреплению новых знаний и способов деятельности.
Образовательная цель:
Предметные:
применять понятия расстояния от точки до прямой, расстояния между прямыми при решении задач
Метапредметные:
Регулятивные УУД:
Познавательные УУД:
Коммуникативные УУД:
Личностные УУД :
10.
Методы обучения
: проблемный, исследовательский.
11.Формы организации учебной деятельности
: фронтальная, групповая, парная, индивидуальная, обучающие структуры.
12.Оборудование, технические условия:
Компьютер, проектор, экран, интернет, программное обеспечение: Microsoft Power Point , рассадка в классе - по 4 человека за столом.
13.Продолжительность урока: 45 мин
14.План урока
I . Организационный момент.
II . Актуализация знаний.
III. Постановка цели урока . Введение нового материала.
VI. Подведение итогов. Рефлексия.
I . Организационный момент.
Цель: подготовка учащихся к работе, активизация внимания для быстрого включения в деятельность.
Учитель : Здравствуйте, Ребята? Как у вас настроение? А давайте мы его еще поднимем и начнем урок с улыбки! Улыбнемся партнеру по лицу! Улыбнемся партнеру по плечу!
II . Актуализация знаний.
Учитель : Вы уже как полгода изучаете новый предмет геометрии и наверное знаете,что такое теорема. Какие способы доказательства знаете?
Возможные ответы учащихся: Метод от противного, конструктивный метод, метод доказательства на основании аксиом и ранее доказанных теорем (слайд №2).
Учитель: Ребята, какие у вас ассоциации со словом - расстояние?
Возможные ответы учащихся: Расстояние между городами, расстояние между столбами, расстояние от чего либо до чего либо (слайд №3).
Учитель: Что называется расстоянием между двумя точками?
Возможные ответы учащихся: Длина отрезка (слайд №4).
Учитель: Сделайте запись в технологической карте в п.1
Учитель: Обратите внимание, что в геометрии под расстояние понимается наикратчайшее расстояние. Сделайте запись в технологической карте в п.2
Учитель: Что можно сказать про взаимное расположение прямой АН и прямой а?
Учитель: Как называются эти прямые?
Учитель: А как называется отрезок АН?
Учитель: Запомните: Перпендикуляр – это отрезок. Сделайте запись в технологической карте в п.3.
III . Постановка цели урока. Введение нового материала.
Учитель: Практическое задание:
Мы находимся на поле, через поле проходит дорога. Изобразите математическую модель ситуации. Нам нужно выйти на дорогу. Изобразите траекторию (слайд №6).
Учитель: А как можно определить на математическом языке эту траекторию? Возможные ответы учащихся: Перпендикуляр
Учитель: А почему не так? –
Попробуйте дать ему название (слайд №7).
Возможные ответы учащихся: Наклонная.
Учитель: А сколько наклонных можно провести из этой точки?
Возможные ответы учащихся: Множество.
(слайд №7).
Учитель: Значит, вы считаете, что наикратчайший путь – это перпендикуляр? Докажите.
Учитель: Теперь докажите, что любая наклонная больше перпендикуляра.
Что мы видим на рисунке?
Возможные ответы учащихся: прямоугольный треугольник (слайд №8).
Учитель: Как в этом треугольнике называются перпендикуляр и наклонная? Возможные ответы учащихся: катет и гипотенуза.
Учитель: Почему гипотенуза больше катета?
Возможные ответы учащихся: Напротив большего угла лежит большая сторона. Самый больший угол в прямоугольном треугольнике – прямой. Напротив него лежит гипотенуза.
Учитель. А как еще можно назвать отрезок АС. А если вернуться к содержании задачи?
Возможные ответы учащихся: Расстояние от точки до прямой .
Учитель: Сформулируйте определение: «Расстояние от точки до прямой – это…(длина перпендикуляра опущенного из этой точки на прямую)» (слайд №9).Сделайте запись в технологической карте в п.4.
Учитель: Практическое задание.
Найдите расстояние от точки В до прямых А D и DC с помощью чертежного треугольника и линейки (слайд №10).технологическая карта п.6
Учитель: Практическое задание. Постройте две параллельные прямые a и b . На прямой а отметьте точку А. Опустите из точки А перпендикуляр на прямую b . Поставьте в основание перпендикуляра точку В.
Что можно сказать про отрезок АВ? (слайд №11).
Он является перпендикуляром и к прямой а, и к прямой b .
Учитель: Поэтому его называют общим перпендикуляром (слайд №13). Сделайте запись в технологической карте в п.5
Учитель: Сделайте запись в технологической карте в п.6
Учитель: Задача. Требуется постелить линолеум в длинном коридоре на пол. Известно, что две противоположные стены – параллельны. На одном конце коридора начертили общий перпендикуляр, и его длина оказалась равной 4 м. Стоит ли перепроверить длины общих перпендикуляров в других местах коридора? (слайд №14).
Возможные ответы учащихся: Не нужно их длины тоже будут равны 4.
Учитель: Докажите. Но для начала изобразите математическую модель данной ситуации. Чтобы доказать выделите, что известно, что требуется доказать.
Как в геометрии обычно доказывается равенство отрезков и углов?
Возможные ответы учащихся: Через равенство треугольников, содержащих эти отрезки и углы. Придумайте конструкцию, которая позволила бы нам доказать равенство этих треугольников.
Структура Single Round Robin :
2.Четыре ученика в команде отвечают по одному разу.
Учитель: Докажите равенство отрезков АВ и СD через равенство треугольников. На сигнальной доске запишите три условия признака равенства треугольников.
1.Учитель задает вопрос и дает время подумать
Учащиеся выполняют дополнительные построения, доказывают равенство треугольников, делают вывод о равенстве отрезков АВ и СD (слайд №№15-17).
Учитель: Отрезки АВ и СD равны. Что можно сказать о точке А и С относительно прямой BD ?
Возможные ответы учащихся: Они находятся на равном расстоянии. Они равноудалены (слайд №18).
Учитель: Для любых ли точек выполняется такое свойство?
Возможные ответы учащихся: Да
Учитель: Попробуем сформулировать это свойство. Из чего состоит утверждение свойства?
Возможные ответы учащихся: Из условия и заключения (слайд №19,20).
Возможные ответы учащихся: Если точки лежат на одной из параллельных прямых, то они равноудалены от второй прямой.
Учитель: Отредактируйте это свойство без союзов: если, то (слайд №21).
Возможные ответы учащихся: Точки лежащие на одной из параллельных прямых равноудалены от второй прямой.
Структура Think-Write-Round Robin:
1.Учитель задает вопрос и дает время подумать
2.Ученики думают и записывают ответ на свой листочек
3.Ученики по очереди зачитывают свой ответ с листочка.
Учитель: Какое утверждение называем обратным?
Возможные ответы учащихся: Если условие и заключение поменять местами.
Учитель: Сформулируйте обратное утверждение (слайд №22).
Возможные ответы учащихся: Если точки, лежащие на одной из двух прямых равноудалены от второй прямой, то прямые параллельные.
Учитель: Сделайте запись в технологической карте в п.7,8.
Учитель: Возможно ли определить такое понятие как расстояние между параллельными прямыми?
Возможные ответы учащихся: Да
Учитель: Что можно называть расстоянием между параллельными прямыми
Возможные ответы учащихся: Длину общего перпендикуляра. Сделайте запись в технологической карте в п.5.
IV. Применение теоремы, выполнение п рактической работы.
Учитель: Практическая работа. Найдите ширину полоски.
Каким математическим понятием является – ширина полоски?
Учитель: Где в практической жизни применяется еще эти теоремы?
VI. Подведение итогов. Рефлексия.
Учитель: С какими новыми понятиями познакомились?
Чему научились на уроке?
Где в жизни мы это будем применять?
(слайд №№26-28)
Учитель: Сделайте запись в технологической карте в п.9
Домашнее задание № 276,279 – доказательство обратной теоремы.
Самоанализ урока
Цели:
Деятельностная цель: создать условия для самостоятельного формулирования и доказательства свойтва наклонных и перпедикуляра опущенных из точки на прямую, создать условия для доказательства теоремы о равноудаленности точек на параллельных прямых; организовать деятельность обучающихся по восприятию, осмыслению и первичному закреплению новых знаний и способов деятельности.
Образовательная цель: выработать знание о том, что перпендикуляр меньше любой наклонной, проведенных из одной точки к прямой, все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.
Предметные: учащийся получит возможность научиться:
применять теорему при решении практических задач
анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы для решения практических задач.
Метапредметные:
Регулятивные УУД:
умение самостоятельно ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения учебных математических проблем;
умение планировать и осуществлять деятельность, направленную на решение задач исследовательского характера.
Познавательные УУД:
умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, умозаключение, выводы;
умение выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать необходимость их проверки; умение применять индуктивные и дедуктивные способы рассуждения, видеть различные стратегии решения задач;
развивать первоначальные представления об идеях и методах математики как об универсальном языке науки, о средстве моделирования явлений и процессов;
умение понимать и использовать рисунки и чертежи для иллюстрации, интерпретации, аргументации.
Коммуникативные УУД:
умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и учениками, определять цели, распределять функции и роли участников, общие способы работы;
умение работать в группе: находить общее решение и разрешать конфликты на основе согласования позиций и учета интересов, слушать партнера, формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение.
Личностные УУД :
формирование коммуникативной компетентности в общении и сотрудничестве в совместной учебно-исследовательской деятельности;
развитие умения ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры и контпримеры;
развитие критичности мышления, умения распознавать логически некорректные высказывания, отличать гипотезу от факта;
развивать креативность мышления, инициативу, находчивость, активность при решении геометрических задач.
Структура фрагмента урока соответствовала типу - урока открытия нового знания. В соответствии с поставленными целями и содержанием материала урок строился по следующим этапам:
I . Организационный момент.
II . Актуализация знаний.
III. Постановка цели урока . Введение нового материала.
IV. Применение теоремы, выполнение практической работы.
VI. Подведение итогов.
Все структурные элементы урока были выдержаны. Организация учебного процесса построена деятельностным методом.
Целью первого этапа было быстро включить учащихся в деловой ритм.
На втором этапе были актуализированы знания, необходимые для работы над новым материалом.
На третьем этапе С целью определения понятий расстояния от точки до прямой, понятия наклонной привлекла детей к практической деятельности с элементами поиска. Сначала на интуитивном уровне учащиеся выдвигали гипотезу, далее самостоятельно доказали свойство перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной точки к прямой.
Вообще практические задания использовала в течении всего урока, в том числе и при первичном закреплении. Они помогают привлечь учащихся к самостоятельной познавательной деятельности, и решают проблемы компетентностного подхода в обучении.
Для формулировки и доказательства теоремы о равноудаленности точек на параллельных прямых использовала проблемную задачу, которая способствовала выдвижению гипотезы о свойствах рассматриваемых объектов и с последующим поиском доказательства справедливости выдвинутого предположения.
Организовав работу над формулированием теоремы, а затем и обратной теоремы я достигала цели развития первоначальных представлений об идеях и методах математики как об универсальном языке науки, о средстве моделирования явлений и процессов.
Учебно-познавательная деятельность была организована через фронтальную работу, индивидуальную, групповую работу. Такая организация позволила включить каждого учащегося в активную деятельность по достижению цели. Учащиеся сотрудничали друг с другом, оказывая взаимопомощь.
Время, я считаю, было распределено рационально. За небольшой промежуток удалось ввести понятия расстояния от точки до прямой, наклонной, расстояния между параллельными прямыми, сформулировать две теоремы и доказать, рассмотреть применение теоремы на практике.
Для наглядности в течении урока использовала презентацию. Использовала специальную программу для демонстрации для сравнения длины наклонной и перпендикуляра, в которой геометрические фигуры оживают. В течение урока использовала работу учащихся на сигнальной доске, которая решает проблемы равного участия учащихся на уроке, контроля над усвоением материала, и, конечно же, активизирует учащегося на уроке.
Учащиеся во время урока были активны, мне удалось привлечь к исследовательской деятельности, творческой деятельности, при конструктивном методе доказательства теоремы, формулировании теоремы
В конце урока учащиеся сами сформулировали тему.
Рефлексия
Доказательство.
Возьмем точку
, которая лежит на прямой a
, тогда координаты точки М1
удовлетворяют уравнению
, то есть, справедливо равенство
, откуда имеем
.
Если font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana"> b имеет вид font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">, а если , то нормальное уравнение прямой b имеет вид font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">.
Тогда при
font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">расстояние от точки
до прямой b
вычисляется по формуле
, а при
- по формуле
То есть, при любом значении С2
расстояние
от точки
до прямой b
можно вычислить по формуле
. А если учесть равенство
, которое было получено выше, то последняя формула примет вид
font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">. Теорема доказана.
2. Решение задач на нахождение расстояния между параллельными прямыми
Пример №1.
Найдите расстояние между параллельными прямыми
и
Решение.
Получим общие уравнения заданных параллельных прямых.
Для прямой
font-size:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">соответствует общее уравнение прямой
. Перейдем от параметрических уравнений прямой вида
font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">к общему уравнению этой прямой:
font-size:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">Коэффициенты при переменных x
и y
в полученных общих уравнениях параллельных прямых равны, поэтому мы сразу можем применить формулу для вычисления расстояния между параллельными прямыми на плоскости:
.
Ответ: font-size:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">Пример №2.
На плоскости введена прямоугольная система координат Oxy
и даны уравнения двух параллельных прямых
и
. Найдите расстояние между указанными параллельными прямыми.
Решение:
Первый способ решения.
Канонические уравнения прямой на плоскости вида
font-size:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">позволяют сразу записать координаты точки М1
, лежащей на этой прямой:
font-size:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">. Расстояние от этой точки до прямой
равно искомому расстоянию между параллельными прямыми. Уравнение
является нормальным уравнением прямой, следовательно, мы можем сразу вычислить расстояние от точки
до прямой
font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">:
.
Второй способ решения.
Общее уравнение одной из заданных параллельных прямых нам уже дано
font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">. Приведем каноническое уравнение прямой
к общему уравнению прямой:
. Коэффициенты при переменной x
в общих уравнениях заданных параллельных прямых равны (при переменной y
коэффициенты тоже равны - они равны нулю), поэтому можно применять формулу, позволяющую вычислить расстояние между заданными параллельными прямыми:
.
Ответ: 8
3. Домашнее задание
Задачи для самопроверки
1. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми
4.ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Все поставленные цели и задачи выполнены полностью. Разработаны два урока из раздела «Взаимное расположение объектов на плоскости» по теме «Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми» с помощью метода координат. Материал подобран на доступном для учащихся уровне, что позволит решать задачи по геометрии более простыми и красивыми методами.
5.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1) , Юдина. 7 – 9 классы : учебник для общеобразовательных учреждений.
2) , Позняк. Учебник для 10-11 классов средней школы .
3) , Никольский математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
4) , Позняк геометрия.
6.ПРИЛОЖЕНИЯ
Справочный материал
Общее уравнение прямой:
Ах + Ву + С = 0 ,
где А и В не равны нулю одновременно.
Коэффициенты А и В являются координатами нормального вектора прямой (т. е. вектора, перпендикулярного прямой). При А = 0 прямая параллельна оси ОХ , при В = 0 прямая параллельна оси О Y .
При В 0 получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом :
Уравнение прямой, проходящей через точку (х 0 , у 0) и не параллельной оси OY , имеет вид:
у – у 0 = m (x – х 0) ,
где m – угловой коэффициент , равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ .
При А
font-size:12.0pt;font-family:Verdana;color:black">
где a = – C / A , b = – C / B . Эта прямая проходит через точки (a , 0) и (0, b ), т. е. отсекает на осях координат отрезки длиной a и b .
Уравнение прямой, проходящей через две различные точки (х 1, у 1) и (х 2, у 2):
Параметрическое уравнение прямой , проходящей через точку (х 0 , у 0) и параллельной направляющему вектору прямой (a , b ) :
Условие параллельности прямых:
1) для прямых Ах+ Ву+ С = 0 и D х+ E у+ F = 0: AE – BD = 0 ,
2) для прямых у = m x + k и у = p x + q : m = p .
О-о-о-о-о… ну и жесть, словно вам сам себе приговор зачитал =) Впрочем, потом релаксация поможет, тем более, сегодня купил подходящие аксессуары. Поэтому приступим к первому разделу, надеюсь, к концу статьи сохраню бодрое расположение духа.
Взаимное расположение двух прямых
Тот случай, когда зал подпевает хором. Две прямые могут :
1) совпадать;
2) быть параллельными: ;
3) или пересекаться в единственной точке: .
Справка для чайников : пожалуйста, запомните математический знак пересечения , он будет встречаться очень часто. Запись обозначает, что прямая пересекается с прямой в точке .
Как определить взаимное расположение двух прямых?
Начнём с первого случая:
Две прямые совпадают, тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны , то есть, существует такое число «лямбда», что выполняются равенства
Рассмотрим прямые и составим три уравнения из соответствующих коэффициентов: . Из каждого уравнения следует, что , следовательно, данные прямые совпадают.
Действительно, если все коэффициенты уравнения 
умножить на –1 (сменить знаки), и все коэффициенты уравнения 
сократить на 2, то получится одно и то же уравнение: .
Второй случай, когда прямые параллельны:
Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных пропорциональны: 
, но
.
В качестве примера рассмотрим две прямые . Проверяем пропорциональность соответствующих коэффициентов при переменных :
Однако совершенно очевидно, что .
И третий случай, когда прямые пересекаются:
Две прямые пересекаются, тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных НЕ пропорциональны
, то есть НЕ существует такого значения «лямбда», чтобы выполнялись равенства 
Так, для прямых составим систему:
Из первого уравнения следует, что , а из второго уравнения: , значит, система несовместна (решений нет). Таким образом, коэффициенты при переменных не пропорциональны.
Вывод: прямые пересекаются
В практических задачах можно использовать только что рассмотренную схему решения. Она, кстати, весьма напоминает алгоритм проверки векторов на коллинеарность, который мы рассматривали на уроке Понятие линейной (не) зависимости векторов. Базис векторов . Но существует более цивилизованная упаковка:
Пример 1
Выяснить взаимное расположение прямых:
Решение основано на исследовании направляющих векторов прямых:
а) Из уравнений найдём направляющие векторы прямых: 
.
, значит, векторы не коллинеарны и прямые пересекаются.
На всякий случай поставлю на распутье камень с указателями:
Остальные перепрыгивают камень и следуют дальше, прямо к Кащею Бессмертному =)
б) Найдем направляющие векторы прямых :
Прямые имеют один и тот же направляющий вектор, значит, они либо параллельны, либо совпадают. Тут и определитель считать не надо.
Очевидно, что коэффициенты при неизвестных пропорциональны, при этом .
Выясним, справедливо ли равенство :
Таким образом,
в) Найдем направляющие векторы прямых :
Вычислим определитель, составленный из координат данных векторов:
, следовательно, направляющие векторы коллинеарны. Прямые либо параллельны либо совпадают.
Коэффициент пропорциональности «лямбда» нетрудно усмотреть прямо из соотношения коллинеарных направляющих векторов . Впрочем, его можно найти и через коэффициенты самих уравнений: 
.
Теперь выясним, справедливо ли равенство . Оба свободных члена нулевые, поэтому:
Полученное значение удовлетворяет данному уравнению (ему удовлетворяет вообще любое число).
Таким образом, прямые совпадают.
Ответ :
Очень скоро вы научитесь (или даже уже научились) решать рассмотренную задачу устно буквально в считанные секунды. В этой связи не вижу смысла предлагать что-либо для самостоятельного решения, лучше заложим ещё один важный кирпич в геометрический фундамент:
Как построить прямую, параллельную данной?
За незнание этой простейшей задачи сурово наказывает Соловей-Разбойник.
Пример 2
Прямая задана уравнением . Составить уравнение параллельной прямой, которая проходит через точку .
Решение : Обозначим неизвестную прямую буквой . Что о ней сказано в условии? Прямая проходит через точку . А если прямые параллельны, то очевидно, что направляющий вектор прямой «цэ» подойдёт и для построения прямой «дэ».
Вытаскиваем направляющий вектор из уравнения :
Ответ :
Геометрия примера выглядит незатейливо:
Аналитическая же проверка состоит в следующих шагах:
1) Проверяем, что у прямых один и тот же направляющий вектор (если уравнение прямой не упрощено должным образом, то векторы будут коллинеарны).
2) Проверяем, удовлетворяет ли точка полученному уравнению .
Аналитическую проверку в большинстве случаев легко выполнить устно. Посмотрите на два уравнения, и многие из вас быстро определят параллельность прямых безо всякого чертежа.
Примеры для самостоятельного решения сегодня будут творческими. Потому что вам ещё придётся тягаться с Бабой-Ягой, а она, знаете, любительница всяких загадок.
Пример 3
Составить уравнение прямой, проходящей через точку , параллельную прямой , если
Существует рациональный и не очень рациональный способ решения. Самый короткий путь – в конце урока.
С параллельными прямыми немного поработали и к ним ещё вернёмся. Случай совпадающих прямых малоинтересен, поэтому рассмотрим задачу, которая хорошо знакома вам из школьной программы:
Как найти точку пересечения двух прямых?
Если прямые 
пересекаются в точке , то её координаты являются решением системы линейных уравнений
Как найти точку пересечения прямых? Решить систему.
Вот вам и геометрический смысл системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными – это две пересекающиеся (чаще всего) прямые на плоскости.
Пример 4
Найти точку пересечения прямых
Решение : Существуют два способа решения – графический и аналитический.
Графический способ состоит в том, чтобы просто начертить данные прямые и узнать точку пересечения непосредственно из чертежа:
Вот наша точка: . Для проверки следует подставить её координаты в каждое уравнение прямой, они должны подойти и там, и там. Иными словами, координаты точки являются решением системы . По сути, мы рассмотрели графический способ решения системы линейных уравнений
с двумя уравнениями, двумя неизвестными.
Графический способ, конечно, неплох, но существует заметные минусы. Нет, дело не в том, что так решают семиклассники, дело в том, что на правильный и ТОЧНЫЙ чертёж уйдёт время. Кроме того, некоторые прямые построить не так-то просто, да и сама точка пересечения может находиться где-нибудь в тридесятом царстве за пределами тетрадного листа.
Поэтому точку пересечения целесообразнее искать аналитическим методом. Решим систему:
Для решения системы использован метод почленного сложения уравнений. Чтобы наработать соответствующие навыки, посетите урок Как решить систему уравнений?
Ответ :
Проверка тривиальна – координаты точки пересечения должны удовлетворять каждому уравнению системы.
Пример 5
Найти точку пересечения прямых в том случае, если они пересекаются.
Это пример для самостоятельного решения. Задачу удобно разбить на несколько этапов. Анализ условия подсказывает, что необходимо:
1) Составить уравнение прямой .
2) Составить уравнение прямой .
3) Выяснить взаимное расположение прямых .
4) Если прямые пересекаются, то найти точку пересечения.
Разработка алгоритма действий типична для многих геометрических задач, и я на этом буду неоднократно заострять внимание.
Полное решение и ответ в конце урока:
Ещё не стоптана и пара башмаков, как мы подобрались ко второму разделу урока:
Перпендикулярные прямые. Расстояние от точки до прямой.
Угол между прямыми
Начнём с типовой и очень важной задачи. В первой части мы узнали, как построить прямую, параллельную данной, а сейчас избушка на курьих ножках развернётся на 90 градусов:
Как построить прямую, перпендикулярную данной?
Пример 6
Прямая задана уравнением . Составить уравнение перпендикулярной прямой , проходящей через точку .
Решение : По условию известно, что . Неплохо бы найти направляющий вектор прямой . Поскольку прямые перпендикулярны, фокус прост:
Из уравнения «снимаем» вектор нормали: , который и будет направляющим вектором прямой .
Уравнение прямой составим по точке и направляющему вектору :
Ответ
: 
Развернём геометрический этюд:
М-да… Оранжевое небо, оранжевое море, оранжевый верблюд.
Аналитическая проверка решения:
1) Из уравнений вытаскиваем направляющие векторы 
и с помощью скалярного произведения векторов
приходим к выводу, что прямые действительно перпендикулярны: .
Кстати, можно использовать векторы нормали, это даже проще.
2) Проверяем, удовлетворяет ли точка полученному уравнению 
.
Проверку, опять же, легко выполнить устно.
Пример 7
Найти точку пересечения перпендикулярных прямых , если известно уравнение 
и точка .
Это пример для самостоятельного решения. В задаче несколько действий, поэтому решение удобно оформить по пунктам.
Наше увлекательное путешествие продолжается:
Расстояние от точки до прямой
Перед нами прямая полоса реки и наша задача состоит в том, чтобы дойти до неё кратчайшим путём. Препятствий нет, и самым оптимальным маршрутом будет движение по перпендикуляру. То есть, расстояние от точки до прямой – это длина перпендикулярного отрезка.
Расстояние в геометрии традиционно обозначают греческой буквой «ро», например: – расстояние от точки «эм» до прямой «дэ».
Расстояние от точки до прямой 
выражается формулой
Пример 8
Найти расстояние от точки до прямой 
Решение
: всё что нужно, это аккуратно подставить числа в формулу и провести вычисления:
Ответ
: 
Выполним чертёж:
Найденное расстояние от точки до прямой – это в точности длина красного отрезка. Если оформить чертёж на клетчатой бумаге в масштабе 1 ед. = 1 см (2 клетки), то расстояние можно измерить обыкновенной линейкой.
Рассмотрим ещё одно задание по этому же чертежу:
Задача состоит в том, чтобы найти координаты точки , которая симметрична точке относительно прямой 
. Предлагаю выполнить действия самостоятельно, однако обозначу алгоритм решения с промежуточными результатами:
1) Находим прямую , которая перпендикулярна прямой .
2) Находим точку пересечения прямых: 
.
Оба действия подробно разобраны в рамках данного урока.
3) Точка является серединой отрезка . Нам известны координаты середины и одного из концов. По формулам координат середины отрезка находим .
Не лишним будет проверить, что расстояние тоже равно 2,2 единицам.
Трудности здесь могут возникнуть в вычислениях, но в вышке здорово выручает микрокалькулятор, позволяющий считать обыкновенные дроби. Неоднократно советовал, посоветую и снова.
Как найти расстояние между двумя параллельными прямыми?
Пример 9
Найти расстояние между двумя параллельными прямыми
Это очередной пример для самостоятельного решения. Немного подскажу: тут бесконечно много способов решения. Разбор полётов в конце урока, но лучше постарайтесь догадаться сами, думаю, вашу смекалку удалось неплохо разогнать.
Угол между двумя прямыми
Что ни угол, то косяк:
В геометрии за угол между двумя прямыми принимается МЕНЬШИЙ угол, из чего автоматически следует, что он не может быть тупым. На рисунке угол, обозначенный красной дугой, не считается углом между пересекающимися прямыми. А считается таковым его «зелёный» сосед или противоположно ориентированный
«малиновый» угол .
Если прямые перпендикулярны, то за угол между ними можно принимать любой из 4 углов.
Чем отличаются углы ? Ориентацией. Во-первых, принципиально важным является направление «прокрутки» угла. Во-вторых, отрицательно ориентированный угол записывается со знаком «минус», например, если .
Зачем я это рассказал? Вроде бы можно обойтись и обычным понятием угла. Дело в том, что в формулах, по которым мы будем находить углы, запросто может получиться отрицательный результат, и это не должно застать вас врасплох. Угол со знаком «минус» ничем не хуже, и имеет вполне конкретный геометрический смысл. На чертеже для отрицательного угла следует обязательно указывать стрелкой его ориентацию (по часовой стрелке).
Как найти угол между двумя прямыми? Существуют две рабочие формулы:
Пример 10
Найти угол между прямыми
Решение и Способ первый
Рассмотрим две прямые, заданные уравнениями в общем виде:
Если прямые не перпендикулярны
, то ориентированный
угол между ними можно вычислить с помощью формулы:
Самое пристальное внимание обратим на знаменатель – это в точности скалярное произведение
направляющих векторов прямых:
Если , то знаменатель формулы обращается в ноль, а векторы будут ортогональны и прямые перпендикулярны. Именно поэтому сделана оговорка о неперпендикулярности прямых в формулировке.
Исходя из вышесказанного, решение удобно оформить в два шага:
1) Вычислим скалярное произведение направляющих векторов прямых:
, значит, прямые не перпендикулярны.
2) Угол между прямыми найдём по формуле:
С помощью обратной функции легко найти и сам угол. При этом используем нечётность арктангенса (см. Графики и свойства элементарных функций
):
Ответ
: 
В ответе указываем точное значение, а также приближённое значение (желательно и в градусах, и в радианах), вычисленное с помощью калькулятора.
Ну, минус, так минус, ничего страшного. Вот геометрическая иллюстрация:
Неудивительно, что угол получился отрицательной ориентации, ведь в условии задачи первым номером идёт прямая и «открутка» угла началась именно с неё.
Если очень хочется получить положительный угол, нужно поменять прямые местами, то есть коэффициенты взять из второго уравнения 
, а коэффициенты взять из первого уравнения . Короче говоря, начать необходимо с прямой 
.
Расстояние
от точки до прямой
Расстояние между параллельными прямыми
Геометрия, 7 класс
К учебнику Л.С.Атанасяна
учитель математики высшей категории
МОУ «Упшинская основная общеобразовательная школа»
Оршанского района Республики Марий Эл
Длина перпендикуляра , проведенного из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой.
АН ⏊ а
М є а, М отлична от Н
Перпендикуляр , проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной , прове-денной из той же точки к этой прямой.
АМ – наклонная, проведенная из точки А к прямой а
АН АМ
АN - наклонная
АН АN
АН АK
АK - наклонная
Расстояние от точки до прямой
M
Расстояние от точки М до прямой с равно …
N
Расстояние от точки N до прямой с равно …
с
Расстояние от точки K до прямой с равно …
K
Расстояние от точки F до прямой с равно …
F
Расстояние от точки до прямой
АН ⏊ а
АН = 5,2 см
ВК ⏊ а
ВК = 2,8 см
Теорема.
Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой
Дано: a ǁ b
А є а, В є а,
Доказать: расстояния от точек А и В до прямой а равны.
АН ⏊ b, BK ⏊ b,
Доказать: АH = BK
Δ АНК = ΔВКА (почему?)
Из равенства треугольников следует АН = ВК
Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой называется расстоянием между этими прямыми.
Обратная теорема.
Все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудаленные от неё, лежат на прямой, параллельной данной.
АН ⏊ b, BK ⏊ b,
АH = BK
Доказать: АВ ǁ b
Δ АНК = ΔКВА (почему?)
Из равенства треугольников следует … , но это внутренние накрест лежащие углы, образованные … , значит АВ ǁ НК
Чему равно расстояние между прямыми b и с, если расстояние между прямыми а и b равно 4, а между прямыми а и с равно 5 ?
а ǁ b ǁ c
Чему равно расстояние между прямыми b и а, если расстояние между прямыми b и с равно 7, а между прямыми а и с равно 2 ?
Чему равно расстояние между прямыми а и с, если расстояние между прямыми b и с равно 10, а между прямыми b и a равно 6 ?
Что представляет собой множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух данных параллельных прямых?
а ǁ b
Ответ: Прямая, параллельная данным прямым и находящаяся на равных расстояниях от них.
Что представляет собой множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой?
Ответ: Две прямые, параллельные данной прямой и расположенные на данном расстоянии по разные стороны от неё.
