Рассчитать площадь конуса калькулятор. Площадь боковой и полной поверхности конуса
Здесь представлены задачи с конусами, условие связано с его площадью поверхности. В частности в некоторых задачах стоит вопрос об изменении площади при увеличении (уменьшении) высоты конуса или радиуса его основания. Теория для решения задач в . Рассмотрим следующие задачи:
27135. Длина окружности основания конуса равна 3, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Площадь боковой поверхности конуса равна:
Подставляем данные:
75697. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 36 раз, а радиус основания останется прежним?
Площадь боковой поверхности конуса:
Образующая увеличивается в 36 раз. Радиус остался прежним, значит длина окружности основания не изменилась.
Значит площадь боковой поверхности изменённого конуса будет иметь вид:
Таким образом, она увеличится в 36 раз.
*Зависимость прямолинейная, поэтому эту задачу без труда можно решить устно.
27137. Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшить в 1,5 раза?
Площадь боковой поверхности конуса равна:
Радиус уменьшается в 1,5 раза, то есть:
Получили, что площадь боковой поверхности уменьшилась в 1,5 раза.
27159. Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите площадь его полной поверхности, деленную на Пи.
Полная поверхность конуса:
Необходимо найти радиус:
Известна высота и образующая, по теореме Пифагора вычислим радиус:
Таким образом:
Полученный результат разделим на Пи и запишем ответ.
76299. Площадь полной поверхности конуса равна 108. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса.
Сечение проходит через середину высоты параллельно основанию. Значит радиус основания и образующая отсеченного конуса будут в 2 раза меньше радиуса и образующей исходного конуса. Запишем чему равна площадь поверхности отсечённого конуса:
Получили, что она будет в 4 раза меньше площади поверхности исходного, то есть 108:4 = 27.
*Так как исходный и отсечённый конус являются подобными телами, то также можно было воспользоваться свойством подобия:
27167. Радиус основания конуса равен 3, высота равна 4. Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на Пи.
Формула полной поверхности конуса:
Радиус известен, необходимо найти образующую.
По теореме Пифагора:
Таким образом:
Результат разделим на Пи и запишем ответ.
Задача. Площадь боковой поверхности конуса в четыре раза больше площади основания. Найдите чему равен косинус угла между образующей конуса и плоскостью основания.
Площадь основания конуса равна:
Самые часто задаваемые вопросы
Возможно ли, изготовить печать на документе по предоставленному образцу? Ответ Да, возможно. Отправьте на наш электронный адрес скан-копию или фото хорошего качества, и мы изготовим необходимый дубликат.
Какие виды оплаты вы принимаете?
Ответ
Вы можете оплатить документ во время получения на руки у курьера, после того, как проверите правильность заполнения и качество исполнения диплома. Также это можно сделать в офисе почтовых компаний, предлагающих услуги наложенного платежа.
Все условия доставки и оплаты документов расписаны в разделе «Оплата и доставка». Также готовы выслушать Ваши предложения по условиям доставки и оплаты за документ.
Могу ли я быть уверена, что после оформления заказа вы не исчезнете с моими деньгами? Ответ В сфере изготовления дипломов у нас достаточно длительный опыт работы. У нас есть несколько сайтов, который постоянно обновляются. Наши специалисты работают в разных уголках страны, изготавливая свыше 10 документов день. За годы работы наши документы помогли многим людям решить проблемы трудоустройства или перейти на более высокооплачиваемую работу. Мы заработали доверие и признание среди клиентов, поэтому у нас совершенно нет причин поступать подобным образом. Тем более, что это просто невозможно сделать физически: Вы оплачиваете свой заказ в момент получения его на руки, предоплаты нет.
Могу я заказать диплом любого ВУЗа? Ответ В целом, да. Мы работаем в этой сфере почти 12 лет. За это время сформировалась практически полная база выдаваемых документов почти всех ВУЗов страны и за разные года выдачи. Все, что Вам нужно – выбрать ВУЗ, специальность, документ, и заполнить форму заказа.
Что делать при обнаружении в документе опечаток и ошибок?
Ответ
Получая документ у нашего курьера или в почтовой компании, мы рекомендуем тщательно проверить все детали. Если будет обнаружена опечатка, ошибка или неточность, Вы имеете право не забирать диплом, при этом нужно указать обнаруженные недочеты лично курьеру или в письменном виде, отправив письмо на электронную почту.
В кратчайшие сроки мы исправим документ и повторно отправим на указанный адрес. Разумеется, пересылка будет оплачена нашей компанией.
Чтобы избежать подобных недоразумений, перед тем, как заполнять оригинальный бланк, мы отправляем на почту заказчику макет будущего документа, для проверки и утверждения окончательного варианта. Перед отправкой документа курьером или почтой мы также делаем дополнительное фото и видео (в т. ч. в ультрафиолетовом свечении), чтобы Вы имели наглядное представление о том, что получите в итоге.
Что нужно сделать, чтобы заказать диплом в вашей компании?
Ответ
Для заказа документа (аттестата, диплома, академической справки и др.) необходимо заполнить онлайн-форму заказа на нашем сайте или сообщить свою электронную почту, чтобы мы выслали вам бланк анкеты, который нужно заполнить и отправить обратно нам.
Если вы не знаете, что указать в каком-либо поле формы заказа/анкеты, оставьте их незаполненными. Всю недостающую информацию мы потому уточним в телефонном режиме.
Последние отзывы
Алексей:
Мне нужно было приобрести диплом для устройства на работу по профессии менеджер. И самое главное, что и опыт, и навыки у меня есть, но без документа я не могу, никуда устроится. Попав на ваш сайт, все-таки решился на покупку диплома. Диплом был выполнен за 2 дня!! Теперь у меня есть работа, о которой я раньше и не мечтал!! Спасибо!
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Тип урока: урок изучения нового материала с применением элементов проблемно-развивающего метода обучения.
Цели урока:
- познавательные:
- ознакомление с новым математическим понятием;
- формирование новых ЗУН;
- формирование практических навыков решения задач.
- развивающие:
- развитие самостоятельного мышления учащихся;
- развитие навыков правильной речи школьников.
- воспитательные:
- воспитание навыков работы в коллективе.
Оборудование урока: магнитная доска, компьютер, экран, мультимедийный проектор, модель конуса, презентация к уроку, раздаточный материал.
Задачи урока (для учащихся):
- познакомиться с новым геометрическим понятием - конус;
- вывести формулу для вычисления площади поверхности конуса;
- научиться применять полученные знания при решении практических задач.
Ход урока
I этап. Организационный.
Сдача тетрадей с домашней проверочной работой по пройденной теме.
Учащимся предлагается узнать тему предстоящего урока, разгадав ребус (слайд 1) :
Рисунок 1.
Объявление учащимся темы и задач урока (слайд 2) .
II этап. Объяснение нового материала.
1) Лекция учителя.
На доске – таблица с изображением конуса. Новый материал объясняется в сопровождении программного материала «Стереометрия». На экране появляется трёхмерное изображение конуса. Учитель даёт определение конуса, рассказывает о его элементах.(слайд 3) . Говорится о том, что конус – это тело, образованное при вращении прямоугольного треугольника относительно катета. (слайды 4, 5). Появляется изображение развёртки боковой поверхности конуса. (слайд 6)
2) Практическая работа.
Актуализация опорных знаний: повторить формулы для вычисления площади круга, площади сектора, длины окружности, длины дуги окружности. (слайды 7–10)
Класс делится на группы. Каждая группа получает вырезанную из бумаги развёртку боковой поверхности конуса (сектор круга с присвоенным номером). Учащиеся выполняют необходимые измерения и вычисляют площадь полученного сектора. Инструкции по выполнению работы, вопросы – постановки проблем – появляются на экране (слайды 11–14) . Результаты вычислений представитель каждой группы записывает в заготовленную на доске таблицу. Участники каждой группы склеивают модель конуса из имеющейся у них развёртки. (слайд 15)
3) Постановка и решение проблемы.
Как вычислить площадь боковой поверхности конуса, если известны только радиус основания и длина образующей конуса? (слайд 16)
Каждая группа производит необходимые измерения и пытается вывести формулу вычисления искомой площади с помощью имеющихся данных. При выполнении этой работы школьники должны заметить, что длина окружности основания конуса равна длине дуги сектора – развёртки боковой поверхности этого конуса. (слайды 17–21) Используя необходимые формулы, выводится искомая формула. Рассуждения учащихся должны выглядеть примерно таким образом:
Радиус сектора – развёртки равен l, градусная мера дуги – φ. Площадь сектора вычисляется по формуле длина дуги, ограничивающей этот сектор, равна Радиус основания конуса R. Длина окружности, лежащей в основании конуса, равна С = 2πR. Заметим, что Так как площадь боковой поверхности конуса равна площади развёртки его боковой поверхности, то
Итак, площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле S БПК = πRl.
После вычисления площади боковой поверхности модели конуса по выведенной самостоятельно формуле представитель каждой группы записывает результат вычислений в таблицу на доске в соответствии с номерами моделей. Результаты вычислений в каждой строке должны быть равны. По этому признаку учитель определяет правильность выводов каждой группы. Таблица результатов должна выглядеть таким образом:
|
№ модели |
I задание |
II задание |
(125/3)π ~ 41,67 π |
||
(425/9)π ~ 47,22 π |
||
(539/9)π ~ 59,89 π |
Параметры моделей:
- l=12 см, φ =120 °
- l=10 см, φ =150 °
- l=15 см, φ =120 °
- l=10 см, φ =170 °
- l=14 см, φ =110 °
Приближённость вычислений связана с погрешностями измерений.
После проверки результатов вывод формул площадей боковой и полной поверхностей конуса появляется на экране (слайды 22–26) , ученики ведут записи в тетрадях.
III этап. Закрепление изученного материала.
1) Учащимся предлагаются задачи для устного решения на готовых чертежах.
Найти площади полных поверхностей конусов, изображённых на рисунках (слайды 27–32) .
2) Вопрос: равны ли площади поверхностей конусов, образованных вращением одного прямоугольного треугольника относительно разных катетов? Учащиеся выдвигают гипотезу и проверяют её. Проверка гипотезы осуществляется путём решения задач и записывается учеником на доске.
Дано: Δ АВС, ∠С=90°, АВ=с, АС=b, ВС=а;
ВАА", АВВ" – тела вращения.
Найти: S ППК 1 , S ППК 2 .
Рисунок 5. (слайд 33)
Решение:
1) R=ВС= а ; S ППК 1 = S БПК 1 + S осн 1 = π а с+π а 2 = π а (а + с).
2) R=АС= b ; S ППК 2 = S БПК 2 + S осн 2 = π b с+π b 2 = π b (b + с).
Если S ППК 1 = S ППК 2 , то а 2 +ас = b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc = 0, (a-b)(a+b+c) = 0. Т.к. a, b, c – положительные числа (длины сторон треугольника), торавенство верно только в случае, если a = b.
Вывод: Площади поверхностей двух конусов равны только в случае равенства катетов треугольника.(слайд 34)
3) Решение задачи из учебника: № 565.
IV этап. Подведение итогов урока.
Домашнее задание: п.55, 56; № 548, № 561. (слайд 35)
Объявление поставленных оценок.
Выводы по ходу урока, повторение основных сведений, полученных на уроке.
Литература (слайд 36)
- Геометрия 10–11 классы – Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др., М., «Просвещение», 2008.
- «Математические ребусы и шарады» – Н.В. Удальцова, библиотечка «Первого сентября», серия «МАТЕМАТИКА», выпуск 35, М., Чистые пруды, 2010.
На этом уроке мы выведем и научимся применять формулы для вычисления площади боковой поверхности конуса и площади полной поверхности конуса.
Для начала давайте вспомним, что же это за геометрическое тело – конус.
Итак, тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей , называется конусом .
Напомним, что боковой поверхностью конуса называется фигура, образованная всеми образующими конуса.
На экране изображён конус, у которого радиус равен , а образующая равна . Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав её по одной из образующих.
Давайте представим, что боковую поверхность конуса разрезали по образующей и развернули таким образом, что получился круговой сектор .
Стороны и которого являются двумя краями разреза боковой поверхности конуса.
Развёрткой боковой поверхности конуса является круговой сектор. Обратите внимание, радиус сектора равен образующей конуса, т.е. . А длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, т.е. равна .
За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь её развёртки. Выразим площадь боковой поверхности конуса через его образующую и радиус основания .
Площадь кругового сектора – развёртки боковой поверхности конуса – равна , где – градусная мера дуги .
Выразим через длину
дуги и радиус окружности. Длина дуги окружности с градусной мерой и радиусом равна . С другой
стороны, длина этой дуги равна два пи эр, т.е. пи эль альфа деленное на сто
восемьдесят равно . Отсюда, . Подставим
это выражение в формулу площади боковой поверхности конуса. Тогда площадь
боковой поверхности конуса равна . Т.е.
площадь боковой поверхности конуса с образующей и радиусом
основания выражается следующей
формулой: 
.
Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.
Теперь выведем формулу для вычисления площади полной поверхности конуса.
Вообще, площадью полной поверхности
конуса
называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Формулу
для вычисления площади боковой поверхности конуса мы с вами выразили выше, а площадь круга равна 
. Подставим
все данные в формулу.
Упростим. Отсюда, получаем, что площадь полной поверхности конуса равна .
А сейчас давайте решим несколько задач на применение выведенных формул.
Задача: образующая конуса равна см, а его высота – см. Вычислите площадь боковой поверхности конуса.
Решение:
Теперь внимательно рассмотрим рисунок.
Напомним, что высота конуса перпендикулярна его основанию. А, значит, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости основания конуса. Следовательно, высота конуса .
Рассмотрим . Он прямоугольный. Применяя теорему Пифагора, найдём длину стороны , которая и является радиусом основания конуса. Получаем, что ОА равно .
Подставим длину образующей конуса и его радиус в формулу для вычисления площади боковой поверхности конуса. Посчитаем. Получим, что площадь боковой поверхности конуса равна .
Запишем ответ.
Задача: радиус основания конуса равен дм, а площадь его осевого сечения – дм 2 . Вычислите площадь боковой поверхности конуса.
Решение: запишем формулу для вычисления площади боковой поверхности конуса.
Теперь рассмотрим рисунок.
Напомним, что осевым сечением конуса называется сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, и представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого – диаметр основания конуса, а боковые стороны – образующие конуса. Значит, – равнобедренный.
Так как по условию задачи радиус основания конуса равен 9 дм, то основание осевого сечения равно .
Напомним, что
площадь треугольника равна половине произведения длины основания на высоту 
. Выразим из формулы высоту . Получаем, что высота треугольника, а она является и
высотой конуса, равна 
.
Рассмотрим . Он прямоугольный, так как . Применяя теорему Пифагора, найдём длину . Получаем, что . Обратите внимание, гипотенуза есть образующая нашего конуса.
Подставим найденную длину образующей конуса и его радиус в формулу для вычисления площади боковой поверхности конуса. Посчитаем. Получим, что площадь боковой поверхности конуса равна .
Не забудем записать ответ.
Задача: прямоугольный треугольник, длины катетов которого равны см и см, вращается вокруг меньшего катета. Вычислите площадь полной поверхности конуса, образованного при этом вращении.
Решение: запишем формулу для вычисления площади полной поверхности конуса.
Рассмотрим . Он прямоугольный по условию.
Воспользуемся теоремой Пифагора и найдём длину гипотенузы , которая и является образующей конуса. Имеем, .
Так как по условию задачи треугольник вращается вокруг меньшего катета, то радиус основания конуса, образованного при этом вращении, равен .
Подставим длину образующей конуса и его радиус в формулу для вычисления площади полной поверхности конуса. Посчитаем. Получим, что площадь полной поверхности нашего конуса равна .
Запишем ответ.
Итоги:
На этом уроке мы вывели формулы для вычисления площади боковой поверхности конуса и площади полной поверхности конуса. А также научились их применять при решении задач.
