Парадокс кондорсе, теорема эрроу, или как мы принимаем решения. Парадокс кондорсе

«Деньги и глупость дают наибольшие шансы на победу в выборах».
Правило Уолтона

«Люди, за очень малым исключением, до того глупы, легковерны и ничтожны, что нет никакого греха пользоваться их глупостью, легковерием и ничтожностью, извлекая из них всю пользу для себя и для других».

Джузеппе Бальзамо, граф Калиостро (1743-1795)

На сайте «ВО», как, собственно, и по всей России, растет число людей, мечтающих о «сильной руке», которая наведет порядок. Причем порядок, соответственный их пониманию. Цель такого порядка - комфортное житье-бытье для них, ну а каково будет другим, по большому счету им наплевать. Поскольку подобный эгоизм - вещь не очень хорошая, не совпадающая с приписываемыми ими себе высокими нравственными идеалами, они утешают себя тем, что выступают за интересы большинства. Что большинство людей в социуме - это они и есть, а раз так… «они правы»! И да, действительно, такова суть демократии: именно большинство людей в обществе в принципе имеют право жить так, как именно оно считает нужным. Но тут есть одно важное «но». Дело в том, что именно большинство в силу ряда причин представляет собой сборище людей… посредственных либо в целом, либо в отдельных частностях. То есть работает «принцип Парето» 80 и 20. Понятно и то, что «80%» граждан-посредственностей таковыми являются лишь относительно. Например, это могут быть вчерашние сельчане, приехавшие в город. Тогда они будут недостаточно социализированы, но… могут быть добрыми и честными людьми. Другие – просто глупы: зачаты по пьянке, мать курила, отец курил, родился ребеночек в йододефицитном районе, а рыбу не любит, потом еще старая бабка уронила, да еще и с Чернобылем довелось познакомиться – под «грязный дождь» попал. Так что, чему удивляться, не так ли? Но при этом тот же пьяница может быть «мастером на все руки», а угрюмый зэк-урка быть верным семьянином. Примеров такому, уверен, всякий найдет превеликое множество. Например, я сам с точки зрения знаний алгебры и геометрии, а также сопромата, нахожусь… в 80% «тупых». Но по и PR в 20%, безусловно. Так что понятие «посредственности» в обществе достаточно относительно. Тем не менее, оно существует. И получается, что мнение посредственностей о том, что должно быть все так, как это хочется именно им, не выдерживает никакой критики, потому как им противостоят люди в большей степени талантливые, чем они сами. Более генетически здоровые и внешне красивые, физически сильные, одаренные разными способностями, вплоть до способности… умело воровать и не попадаться! И именно они требуют, чтобы остальные, менее талантливые и социализированные подчинялись им и по-своему они тоже правы.

Мари Жан Антуан Никола Кондорсе. Портрет Жана Баптиста Грейзе (1725-1805). Версаль.

Значит, должен существовать социальный механизм, который бы позволял учитывать интересы и 80% и 20%, чтобы и тем и другим особых преференций не создавалось. У одних «отбиралось их количество» (потому, как дураки массой задавят любого!), но, чтобы и талантливый человек не пользовался своими способностями во вред обществу, потому как урон ему в этом случае будет просто громадный!

Что это за механизм? И существует ли он? Да, существует и известен издавна. Это система выборов в государственные структуры власти. Так называемая демократия, то есть, идущая из древней Греции власть демоса, то есть лично свободные граждане, имеющих гражданские права, и этим отличающиеся от рабов и других категорий неполноправного населения.

Фемистокл при дворе Артаксеркса. Уильям Райни (1852-1936).

Понятно, что в греческих городах-государствах, где все известные люди были наперечет, выбирать было легко. Но даже и тогда получались интересные казусы. Например, Фемистокл… Был выбран стратегом. Уговорил афинян пустить доходы от рудников Лавриона на корабли. Создал афинский флот, по сути дела победил персов в Саламинском сражении, спас всю Грецию от порабощения, но первой награды на голосовании не получил. Получил вторую! Почему? А потому, что на первую записал себя каждый из голосовавших, но так как не помянуть Фемистокла было нельзя – его единогласно записали на вторую!!! Таковы люди, увы. Но Фемистокл (он тоже был не святой) на такое отношение к нему обиделся и сказал афинянам: «Вам что уже надоело получать благодеяния из моих рук?» И хотя это была правда, афиняне обиделись и приговорили его к остракизму. И отправился «герой Саламина»… к персам! И был принят с почетом, назначен сатрапом одного из прибрежных городов Малой Азии. А потом нужно было собираться в поход против Греции, а Фемистокл не мог себе позволить такого и принял яд!

Один из остраконов – черепков битой посуды с именем Фемистокла, с помощью которых он был осужден на изгнание. (Музей Агоры в Афинах)

Ну, а сами-то выборы в органы государственной власти ведь это же самая настоящая «торговля», цель которой – «продать» избирателям «своего» кандидата. То есть заставить публику хоть каким образом отдать свои избирательные бюллетени, то есть – голоса и таким образом делегировать ему свои властные полномочия. Это означает еще и то, что публика отдает ему право тратить ее деньги, потому, что любая власть – это опять-таки доступ к деньгам, которыми она может распоряжаться от имени народа по собственному усмотрению.

И побеждает в них тот кандидат, поток информации от которого к народу был большей плотности, интенсивности, то есть его имя звучало чаще, чем других и вызывало у людей положительные эмоции. И такой поток совсем нетрудно организовать! Как это понимать? А очень просто: любую мелочь по желанию СМИ можно показать очень значимой, а значимое по-настоящему – мелким, а то и ничтожным.

Важен и психологический фактор, связанный с тем, что с при демократии большая часть населения обладает истеричным типом поведения, при полном отсутствии способностей к осмыслению получаемой информации в условиях нестандартных ситуаций. Причина столь печального явления в разделении граждан по уже рассматриваемому нами «Закону Парето», когда 80% не слишком социализированы, воспитаны, имеют соответственное образование и ко всему прочему еще и контролируют всего только 20% общественного достояния.

И 20%, как в свое время и Фемистоклу, всех прочих, то есть большинство, в чем-либо убедить очень трудно. Не работает и принцип «делай как я», поскольку умным людям очень часто помогает еще и случайность, а где же набраться таких вот случайностей на всех? Тем не менее, выборы в демократических странах проводят, и они дают определенный результат. Хотя и здесь далеко не все так просто прежде всего потому, что кроме «закона Парето» в обществе действует еще и «парадокс Кондорсе». В соответствии с ним именно в демократическом обществе выбор народом достойного кандидата «вещь» исключительно сложная. Но почему так и почему о «парадоксе Кондорсе» следует знать каждому?

Начнем с истории. Еще в 1785 году живший во Франции философ-просветитель, математик, социолог и… маркиз Мари Жан Антуан Никола де Кондорсе издал работу по проблеме принятия коллективных решений на выборах депутатов провинциальных ассамблей. В ней он и сформулировал этот парадокс, суть которого такова:

Допустим, что есть три кандидата А, В, С, за которых нужно проголосовать избирателям. Понятно, что победить на выборах должен будет тот, кто получит самое большое количество голосов. При этом избиратели в бюллетене должны распределить кандидатов по своим предпочтениям, т.е. им надо будет указать, кому они хотят отдать первое место, кто, по их мнению, может занять второе, а кому следует отдать третье.

23 избирателя: A > B > C
19 избирателей: B > C > A
16 избирателей: C > B > A.

Таким образом, кажется очевидным, что победить должен будет кандидат А, ведь у него 23 первых места. Вторым будет кандидат В (19 избирателей отдали ему первое место) и только третьим идет кандидат С (18 первых мест). Но при этом получается, что за кандидата С в общей сложности подано больше голосов избирателей, чем за кандидата А, ведь за него проголосовало 37 избирателей, а 35 избирателей кандидата В предпочли кандидату А.

Так что, используя при подсчете голосов принцип Кондорсе, или как его еще называют «принцип пропорционального представительства» («принцип ПП»), то мы получим на выборах результат принципиально противоположный первоначальному: а кандидат А в этом случае окажется на последнем месте. При таком подсчете голосов намного сложнее и подтасовывать результаты выборов. Вот почему идея Кондорсе никогда, за редким исключением, не приветствовалась и не приветствуется современными властными структурами (хотя сейчас она используется при подсчете голосов на выборах в различные органы власти в таких странах, как Австралия, США, Ирландия, на территории Папуа в Новой Гвинее и еще в некоторых других регионах планеты). Но публикации в России о маркизе Кондорсе и его парадоксе обычно не пользуются популярностью у массового читателя… Большинство людей сути его просто не понимает, а в школах действие его не разбирают и не говорят «будущим взрослым», что перед ними способ повысить степень демократичности нашего общества. Президенту также вопросов о том, когда у нас в избирательную систему будет введен принцип пропорционального представительства, тоже не задают…

Это не «по Кондорсе»… Просто кандидатов много, а выбрать надо одного. Для этого необходимо знать программу каждого, сравнить чья лучше, оценить возможности каждого кандидата исполнить обещанное, узнать его биографию, причем не только из рекламных листовок. Потом еще раз подумать, прежде чем ставить за него «галочку». Этим у нас кто-нибудь перед выборами занимается?

Отсюда следует вывод, что обычно люди выбирают кандидата во власть по принципу «большего шанса», то есть стараются отдать свой голос так, чтобы его не потерять. Поэтому и голосуют часто не за того, кто реально им нравится, а за того, кто, по их мнению (цена которого, как мы видим, совсем невелика!), имеет самые большие шансы на победу! Но шанс на победу в этом случае всегда получает именно тот, чье имя у всех на слуху. А отсюда вывод, что опять-таки сейчас все зависит от информационного потока большей или меньшей плотности, только и всего!

П.С. Ну а в качестве итога следует привести слова нашего великого полководца М.И. Кутузова: «С того часа, когда постигаешь правду сам, и до того, как она восторжествует для всех, не хватает порой и жизни!»

Парадокс Кондорсе. Суть парадокса Кондорсе (парадокс голосования) состоит в выявлении предпочтений общества, где не существует единодушия по поводу принятия тех или иных альтернативных программ, т. е. в выборе оптимальной программы общественных предпочтений.

Из микроэкономики известно, что индивиды поступают рационально при выборе между различными альтернативами. Например, если вы яблоки любите больше, чем груши, а груши - больше, чем апельсины, то при выборе между яблоками и апельсинами вы предпочтете яблоки.

Если человек в состоянии осуществить рациональный выбор, то и общество в целом способно осуществить такой коллективный рациональный выбор.

Коллективный рациональный выбор может быть осуществлен по принципу большинства при голосовании за одну программу или между двумя программами. На практике приходится осуществлять выбор между несколькими программами.

Допустим, необходимо выбрать одну из трех альтернативных программ (А, В, С), которые представлены одинаковыми по численности группами (Красновым, Черновым и Беловым). Предпочтения избирателей по этим программам А, В, С ставят их на 1-е, 2-е или 3-е место. Эти предпочтения представлены в табл. 17.1.

Таблица 17.1

Предпочтения избирателей в случае очевидного большинства голосов

В случае очевидного большинства из табл. 17.1 видно, что общество (большинство избирателей) твердо предпочтут программу А. Эта программа стоит на первом месте у Краснова и Чернова, т. е. большинство голосов в этом случае позволило сразу выявить “победителя” среди других программ.

Но может сложиться ситуация, когда отсутствует очевидное большинство и предпочтения избирателей между этими программами могут быть расположены по-другому, как представлено в табл. 17.2.

Таблица 17.2

Предпочтения избирателей в случае отсутствия очевидного большинства голосов(парадокс голосования)

	Ранги трех альтернативных программ

В этом случае возможны несколько вариантов попарного голосования и, соответственно, несколько вариантов исхода окончательного голосования.

Первый вариант: Вначале делается выбор между программами А и В. Очевидно, что большинством голосов выберут программу А, поскольку Краснов и Белов предпочитают эту программу, ставя ее соответственно на 1-е и 2-е места.

Затем делается выбор между программами В и С. В этом случае очевидно, что выберут программу В, поскольку Краснов и Чернов предпочтут эту программу, ставя ее на 1-е и 2-е места.

Второй вариант: Вначале делается выбор между программами А и С. Выберут программу С, поскольку Чернов и Белов за программу С.

Затем делается выбор между программами В и С. Выберут программу В, поскольку Краснов и Чернов за программу В.

Таким образом, общество будет бесконечно двигаться по кругу, поскольку попарное голосование превращается в бесконечный цикл.

Теория общественного выбора рассматривает эту проблему как парадокс Кондросе, или как проблему “манипулирования повесткой дня”. Парадокс Кондорсе показывает возможности председательствующего, чтобы протащить нужную ему программу.

Например, чтобы поддержать программу А, он устанавливает следующую процедуру голосования:

На первом этапе, если известно, что между программами А и С избиратели проголосуют за программу С, то против программы С нужно выставить хорошо подобранную программу В и проголосовать вначале между В и С. В этом случае выиграет программа В, а программа С выбывает из дальнейшей процедуры голосования.

На втором этапе, если выбирать между программами А и В, то с учетом итогов первого тура выиграет программа А, что и требовалось манипулятору (председательствующему).

Парадокс Кондорсе может рассматриваться как частный случай теоремы невозможности американского экономиста К. Эрроу.

В соответствии с теорией невозможности К. Эрроу рациональный коллективный выбор основан на пяти аксиомах, которые обобщены американским экономистом, лауреатом Нобелевской премии У. Викри:

1. Аксиома коллективной рациональности. Эта аксиома означает, что коллективный выбор должен быть осуществим для любой комбинации предпочтений участников голосования, т. е. свобода принятия решений для отдельных субъектов не ограничена.
2. Аксиома единогласия. Если каждый избиратель предпочитает альтернативу А альтернативе В, то это должно быть верно и для общества в целом.
3. Аксиома транзитивности. Если общество в целом предпочитает альтернативу А альтернативе В, а альтернативу В альтернативе С, то оно должно предпочитать альтернативу А альтернативе С.
4. Аксиома независимости от внешних альтернатив. Если избиратели осуществляют выбор между альтернативой А и альтернативой В, то этот выбор не зависит от альтернативы С.
5. Аксиома отказа от диктатуры. Эта аксиома означает, что никакой индивид (диктатор) не может навязать свои предпочтения обществу.

Первые четыре аксиомы, как показали исследования Эрроу, соответствуют диктаторским требованиям при осуществлении коллективного выбора. Это означает, что при демократическом правиле голосования процесс рационального коллективного выбора неосуществим, а соблюдение же всех пяти аксиом делает коллективный рациональный выбор невозможным.

Теория невозможности К. Эрроу гласит: не существует рационального правила коллективного выбора, учитывающего мнение всех членов общества.

Таким образом, представители теории общественного выбора считают, что в условиях демократии решения, принятые коллективно, совсем не обязательно будут рациональными или эффективными. Этот вывод показывает лишь несовершенство демократических процедур, но это не означает, что нужно отказываться от коллективного выбора.

Титульная страница сочинения, в котором Кондорсе сформулировал свой парадокс.

Опыт применения анализа к проблеме вероятности решений большинством голосов

Парадо́кс Кондорсе́ - парадокс теории общественного выбора, впервые описан маркизом Кондорсе в 1785 году .

Он заключается в том, что при наличии более двух альтернатив и более двух избирателей коллективная ранжировка альтернатив может быть цикличной (не транзитивна), даже если ранжировки всех избирателей не являются цикличными (транзитивны). Таким образом, волеизъявления разных групп избирателей, каждая из которых представляет большинство, могут вступать в парадоксальное противоречие друг с другом.

На практике идея о необходимости ранжирования кандидатов реализована в голосовании по методу Шульце .

Кондорсе определил правило, по которому сравнение выбираемых альтернатив (кандидатов) производится с учётом полной ординалистской информации о предпочтениях избирателей.

Согласно принципу Кондорсе, для определения истинной воли большинства необходимо, чтобы каждый голосующий проранжировал всех кандидатов в порядке их предпочтения. После этого для каждой пары кандидатов определяется, сколько голосующих предпочитает одного кандидата другому - формируется полная матрица попарных предпочтений избирателей.

На базе этой матрицы, используя транзитивность отношения предпочтения, можно попытаться построить коллективную ранжировку кандидатов.

Сравним этот вывод с возможным исходом голосования по мажоритарной системе относительного или абсолютного большинства.

Получаем, что правила игры будут определять победителя, и эти победители будут разными при различных правилах голосования. Согласно второй, широко используемой в мире процедуре победить может кандидат, который при попарном голосовании проиграл бы отсеянному в первом туре кандидату в отношении вплоть до 1 к 1,99… Парадоксальность такой ситуации на реальных выборах иногда путают собственно с парадоксом Кондорсе. Принцип Кондорсе устраняет подобные ошибки, связанные с неполным учётом предпочтений избирателей в первом туре, но может приводить к неразрешимому противоречию.

В силу симметрии в таком виде парадокс неразрешим никакими ухищрениями. Но если заменить отдельных избирателей в этом примере на три группы с близким, но не одинаковым числом избирателей, например, 9, 10 и 11, то метод Шульце позволяет формально определить победителя. Хотя парадоксальная цикличность коллективной ранжировки сохраняется.

В другой форме парадокс Кондорсе возникает при постатейном принятии некоторого постановления или закона, когда каждая из статей закона принимается большинством голосов, а поставленный на голосование закон в целом отвергается (иногда даже стопроцентным большинством голосующих). Либо наоборот, вполне возможно, что коллективно будут приняты решения, которые на индивидуальном уровне не поддерживал ни один из голосующих.

Пример . Пусть у нас имеются три человека, голосующих по трем вопросам. Первый из них голосует «да» по первому вопросу, «да» по второму и «нет» по третьему («да»/«да»/«нет»), второй - «да»/«нет»/«да», третий - «нет»/«да»/«да». Суммарный итог голосования подсчитывается как соотношение сумм голосов «да» и «нет» по каждому из вопросов. В рассмотренном случае суммарный итог голосования будет «да»/«да»/«да». Этот итог не отражает мнения ни одного из голосовавших и, естественно, не удовлетворяет никого.

), даже если ранжировки всех избирателей не являются цикличными (транзитивны). Таким образом, волеизъявления разных групп избирателей, каждая из которых представляет большинство, могут вступать в парадоксальное противоречие друг с другом.

Энциклопедичный YouTube

1 / 5
Кондорсе определил правило, по которому сравнение выбираемых альтернатив (кандидатов) производится с учётом полной ординалистской информации о предпочтениях избирателей.
Согласно принципу Кондорсе, для определения истинной воли большинства необходимо, чтобы каждый голосующий проранжировал всех кандидатов в порядке их предпочтения. После этого для каждой пары кандидатов определяется, сколько голосующих предпочитает одного кандидата другому - формируется полная матрица попарных предпочтений избирателей.
На базе этой матрицы, используя транзитивность отношения предпочтения, можно попытаться построить коллективную ранжировку кандидатов.

Пример применения принципа

Приведём численный пример из работы Кондорсе.
Введём для краткости обозначение: A ≻ B ≻ C {\displaystyle A\succ B\succ C} будет означать, что голосующий предпочитает кандидата A кандидату B, а кандидата B - кандидату С.

При сравнении A с B имеем: 23 + 2 = 25 человек за то, что , и 19 + 16 = 35 человек за то, что .
По принципу Кондорсе мнение большинства состоит в том, что В лучше А.
Сравнивая А и С, будем иметь: 23 человека за A ≻ C {\displaystyle A\succ C} и 37 человек за . Отсюда, по Кондорсе, заключаем, что большинство предпочитает кандидата С кандидату А. Аналогично (19 человек за , 41 человек за ) С более предпочтителен, чем B.
Таким образом, по Кондорсе воля большинства выражается в виде трех суждений: C ≻ B {\displaystyle C\succ B} ; B ≻ A {\displaystyle B\succ A} ; C ≻ A {\displaystyle C\succ A} , которые можно объединить в одно отношение предпочтения C ≻ B ≻ A {\displaystyle C\succ B\succ A} и если необходимо выбрать одного из кандидатов, то, согласно принципу Кондорсе, следует предпочесть кандидата С.

Противоречие с мажоритарной системой голосования

Сравним этот вывод с возможным исходом голосования по мажоритарной системе относительного или абсолютного большинства.
- Для вышеприведённого примера голосование по системе относительного большинства даст такие результаты: за А - 23 человека, за В - 19 человек, за С - 18 человек. Таким образом, в этом случае победит кандидат А.
- При голосовании по системе абсолютного большинства в два тура кандидаты А и В выйдут во второй тур, где кандидат А получит 25 голосов, а кандидат В - 35 голосов - и победит.
Получаем, что правила игры будут определять победителя, и эти победители будут разными при различных правилах голосования. Согласно второй, широко используемой в мире процедуре победить может кандидат, который при попарном голосовании проиграл бы отсеянному в первом туре кандидату в отношении вплоть до 1 к 1,99… Парадоксальность такой ситуации на реальных выборах иногда путают собственно с парадоксом Кондорсе. Принцип Кондорсе устраняет подобные ошибки, связанные с неполным учётом предпочтений избирателей в первом туре, но может приводить к неразрешимому противоречию.

Парадокс Кондорсе

В другом примере, рассмотренном Кондорсе:

по итогам голосования двумя третями голосов получаем три утверждения: B ≻ C {\displaystyle B\succ C} , C ≻ A {\displaystyle C\succ A} , A ≻ B {\displaystyle A\succ B} . Но вместе эти утверждения противоречивы. В этом и состоит парадокс Кондорсе или парадокс коллективного выбора. Оказывается невозможным определить волю большинства и принять какое-то согласованное решение. Если для оценки согласованности предпочтений этих избирателей применить разработанный позднее коэффициент ранговой корреляции . Данный метод применяется при выборах в различные органы власти Источники

Три друга решают, как им провести вечер. Один предпочитает театр, другой - кино, третий - цирк. Но никто на своем особенно не настаивает, согласен, на худой конец, пойти с друзьями куда угодно. Тем более, что они не знают, куда легче достать билеты. Андрей предлагает такой маршрут: сначала к кассам театра, потом кино, а затем цирка. Борис считает иначе: цирк, театр, кино. Пожелание Вадима: кино, цирк, театр. Ну что же, придется решать голосованием. Куда захочет большинство, туда все и пойдут.

Итак, театр или кино? Андрей и Борис отдают предпочтение театру, только Вадим - кино. Двумя голосами против одного театр одерживает верх над кино. Кино или цирк? Андрей и Вадим больше склонны пойти в кино, Борис - в цирк. Большинством голосов выбирается кино.

Цирк или театр? Двумя голосами против одного принимается решение пойти в цирк. Вы уже заметили, наверное, что голосование ничего не дало. Не ясно, чего же хочет большинство. Идти в кино? Однако за театр было ведь отдано больше голосов. Тогда - в театр? Но за цирк высказалось больше, чем за театр. В цирк пойти? Результаты голосования показали, что большинство отдает предпочтение не цирку, а кино. Словом, получился замкнутый круг.

Странному парадоксу, возникающему при подсчете голосов за и против, французский философ и математик Кондорсе посвятил в 1785 году обширное исследование. Вот еще пример парадокса, названного именем этого математика.

60 депутатов парламента должны выбрать себе председателя из трех кандидатур. Для простоты обозначим их первыми буквами фамилий: А, Б и В.

Обычно тайное голосование в таких случаях производится следующим путем: каждый депутат пишет фамилии кандидатов в порядке их предпочтительности для него. У нас возможны шесть комбинаций: АБВ, АВБ, БАВ, БВА, ВАБ, ВБА. Приводим пять из них. 23 голоса - за последовательность АБВ, 2 голоса - за последовательность БАВ, 17 голосов - за последовательность БВА, 10 голосов - за последовательность ВАБ, 8 голосов - за последовательность ВБА.

Выходит, А предпочтительнее Б для 33 депутатов, Б предпочтительнее А для 27 депутатов, Б предпочтительнее В для 42 депутатов, В предпочтительнее Б для 18 депутатов. И, наконец, В предпочтительнее А для 35 депутатов, А предпочтительнее В для 25 депутатов.

Иными словами, А более подходящий большинству кандидат, чем Б, Б более подходящий, чем В, а В более подходящий, чем А.

Мы опять очутились в замкнутом кругу. Исход голосования непонятен, снова парадокс Кондорсе. Статистика показывает, что этот парадокс возникает в 6-9 случаях из 100 голосований по системе предпочтительности. Поискам выхода в подобных ситуациях посвящено немало математических исследований. Но пока все безрезультатно.

P. S. О чем еще говорят британские ученые: о том, что было бы забавно, если бы парадокс Кондорсе случайным образом разрешил какой-нибудь юный вундеркинд, решающий задачи ОГЭ по математике. К слову об ОГЕ, по ссылке в вы сможете узнать расписание ОГЭ на 2017 год.