Свойства треугольника. В том числе равенство и подобие, равные треугольники, стороны треугольника, углы треугольника, площадь треугольника — формулы вычисления, прямоугольный треугольник, равнобедренн
Самый простой многоугольник, который изучается в школе — это треугольник. Он более понятен для учащихся и встречает меньше трудностей. Несмотря на то что существуют различные виды треугольников, у которых имеются особенные свойства.
Какая фигура называется треугольником?
Образованная тремя точками и отрезками. Первые называются вершинами, вторые — сторонами. Причем все три отрезка должны быть соединены, чтобы между ними образовывались углы. Отсюда и название фигуры «треугольник».
Различия в названиях по углам
Поскольку они могут быть острыми, тупыми и прямыми, то и виды треугольников определяются по этим названиям. Соответственно, групп таких фигур три.
- Первая. Если все углы треугольника острые, то он будет иметь название остроугольного. Все логично.
- Вторая. Один из углов тупой, значит треугольник тупоугольный. Проще некуда.
- Третья. Имеется угол, равный 90 градусам, который называется прямым. Треугольник становится прямоугольным.
Различия в названиях по сторонам
В зависимости от особенностей сторон выделяют такие виды треугольников:
общий случай — разносторонний, в котором все стороны имеют произвольную длину;
равнобедренный, у двух сторон которого имеются одинаковые числовые значения;
равносторонний, длины всех его сторон одинаковые.
Если в задаче не указан конкретный вид треугольника, то нужно чертить произвольный. У которого все углы острые, а стороны имеют разную длину.
Свойства, общие для всех треугольников
- Если сложить все углы треугольника, то получится число, равное 180º. И неважно, какого он вида. Это правило действует всегда.
- Числовое значение любой стороны треугольника меньше, чем сложенные вместе две другие. При этом она же больше, чем их разность.
- Каждый внешний угол имеет значение, которое получается при сложении двух внутренних, не смежных с ним. Причем он всегда больше, чем смежный с ним внутренний.
- Напротив меньшей стороны треугольника всегда лежит самый маленький угол. И наоборот, если сторона большая, то и угол будет самым большим.
Эти свойства справедливы всегда, какие бы виды треугольников ни рассматривались в задачах. Все остальные вытекают из конкретных особенностей.
Свойства равнобедренного треугольника
- Углы, которые прилегают к основанию, равны.
- Высота, которая проведена к основанию, является также медианой и биссектрисой.
- Высоты, медианы и биссектрисы, которые построены к боковым сторонам треугольника, соответственно равны друг другу.
Свойства равностороннего треугольника
Если имеется такая фигура, то будут верны все свойства, описанные немного выше. Потому что равносторонний всегда будет равнобедренным. Но не наоборот, равнобедренный треугольник не обязательно будет равносторонним.
- Все его углы равны друг другу и имеют значение 60º.
- Любая медиана равностороннего треугольника является его высотой и биссектрисой. Причем они все равны друг другу. Для определения их значений существует формула, которая состоит из произведения стороны на квадратный корень из 3, деленного на 2.
Свойства прямоугольного треугольника
- Два острых угла дают в сумме значение в 90º.
- Длина гипотенузы всегда больше, чем у любого из катетов.
- Числовое значение медианы, проведенной к гипотенузе, равно ее половине.
- Этому же значению равен катет, если он лежит напротив угла в 30º.
- Высота, которая проведена из вершины со значением 90º, имеет определенную математическую зависимость от катетов: 1/н 2 = 1/а 2 + 1/в 2 . Здесь: а, в — катеты, н — высота.
Задачи с разными видами треугольников
№1. Дан равнобедренный треугольник. Его периметр известен и равен 90 см. Требуется узнать его стороны. В качестве дополнительного условия: боковая сторона меньше основания в 1,2 раза.
Значение периметра напрямую зависит от тех величин, которые нужно найти. Сумма всех трех сторон и даст 90 см. Теперь нужно вспомнить признак треугольника, по которому он является равнобедренным. То есть две стороны равны. Можно составить уравнение с двумя неизвестными: 2а + в = 90. Здесь а — боковая сторона, в — основание.
Настала очередь дополнительного условия. Следуя ему, получается второе уравнение: в = 1,2а. Можно выполнить подстановку этого выражения в первое. Получится: 2а + 1,2а = 90. После преобразований: 3,2а = 90. Отсюда а = 28,125 (см). Теперь несложно узнать основание. Лучше всего это сделать из второго условия: в = 1,2 * 28,125 = 33,75 (см).
Для проверки можно сложить три значения: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (см). Все верно.
Ответ: стороны треугольника равны 28,125 см, 28,125 см, 33,75 см.
№2. Сторона равностороннего треугольника равна 12 см. Нужно вычислить его высоту.
Решение. Для поиска ответа достаточно вернуться к тому моменту, где были описаны свойства треугольника. Так указана формула для нахождения высоты, медианы и биссектрисы равностороннего треугольника.
н = а * √3 / 2, где н — высота, а — сторона.
Подстановка и вычисление дают такой результат: н = 6 √3 (см).
Эту формулу необязательно запоминать. Достаточно вспомнить, что высота делит треугольник на два прямоугольных. Причем она оказывается катетом, а гипотенуза в нем — это сторона исходного, второй катет — половина известной стороны. Теперь нужно записать теорему Пифагора и вывести формулу для высоты.
Ответ: высота равна 6 √3 см.
№3. Дан МКР — треугольник, 90 градусов в котором составляет угол К. Известны стороны МР и КР, они равны соответственно 30 и 15 см. Нужно узнать значение угла Р.
Решение. Если сделать чертеж, то становится ясно, что МР — гипотенуза. Причем она в два раза больше катета КР. Снова нужно обратиться к свойствам. Одно из них как раз связано с углами. Из него понятно, что угол КМР равен 30º. Значит искомый угол Р будет равен 60º. Это следует из другого свойства, которое утверждает, что сумма двух острых углов должна равняться 90º.
Ответ: угол Р равен 60º.
№4. Нужно найти все углы равнобедренного треугольника. Про него известно, что внешний угол от угла при основании равен 110º.
Решение. Поскольку дан только внешний угол, то этим и нужно воспользоваться. Он образует с внутренним углом развернутый. Значит в сумме они дадут 180º. То есть угол при основании треугольника будет равен 70º. Так как он равнобедренный, то второй угол имеет такое же значение. Осталось вычислить третий угол. По свойству, общему для всех треугольников, сумма углов равна 180º. Значит, третий определится как 180º - 70º - 70º = 40º.
Ответ: углы равны 70º, 70º, 40º.
№5. Известно, что в равнобедренном треугольнике угол, лежащий напротив основания, равен 90º. На основании отмечена точка. Отрезок, соединяющий ее с прямым углом, делит его в отношении 1 к 4. Нужно узнать все углы меньшего треугольника.
Решение. Один из углов можно определить сразу. Поскольку треугольник прямоугольный и равнобедренный, то те, что лежат у его основания, будут по 45º, то есть по 90º/2.
Второй из них поможет найти известное в условии отношение. Поскольку оно равно 1 к 4, то частей, на которые он делится получается всего 5. Значит, чтобы узнать меньший угол треугольника нужно 90º/5 = 18º. Осталось узнать третий. Для этого из 180º (суммы всех углов треугольника) нужно вычесть 45º и 18º. Вычисления несложные, и получится: 117º.
Треугольники
Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки -- его сторонами.
Виды
треугольников
Треугольник называется равнобедренным, если у него две сторны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.
Треугольник, у которого все сторны равны, называется равносторонним или правильным.
Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами.
Треугольник называется остроугольным, если все три его угла - острые, то есть меньше 90°.
Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов - тупой, то есть больше 90°.
Основные линии треугольника
Медиана
Медиана
треугольника
- это отрезок, соединяющий верщину
треугольника с серединой противолежащей
стороны этого треугольника.
Свойства медиан треугольника
Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
Биссектриса
Биссектриса
угла
- это луч, который исходит из его вершины,
проходит между его сторонами и делит
данный угол пополам. Биссектрисой
треугольника
называется
отрезок биссектрисы угла треугольника,
соединяющий вершину с точкой на
противолежащей стороне этого треугольника.
Свойства биссектрис треугольника
Высота
Высотой
треугольника
называется перпендикуляр, проведенный
из вершины треугольника к прямой,
содержащей противоположную сторону
этого треугольника.
Свойства высот треугольника
В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
Срединный перпендикуляр
Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, называют серединным перпендикуляром к отрезку.
Свойства
серединных перпендикуляров треугольника
Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника .
Средняя линия
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Свойство средней линии треугольника
Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Формулы и соотношения
Признаки
равенства треугольников
Два треугольника равны, если у них соответственно равны:
две стороны и угол между ними;
два угла и прилежащая к ним сторона;
три стороны.
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Два
прямоугольных
треугольника
равны, если у них соответственно равны:
гипотенуза и острый угол;
катет и противолежащий угол;
катет и прилежащий угол;
два катета ;
гипотенуза и катет .
Подобие треугольников
Два
треугольника подобны,
если
выполняется одно из следующих условий,
называемых признаками
подобия:
два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника;
две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны;
три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника.
В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты , медианы , биссектрисы и т. п.) пропорциональны.
Теорема синусов
Стороны
треугольника пропорциональны синусам
противолежащих углов, причем коэффициент
пропорциональности равен диаметру
описанной
около треугольника окружности
:
Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos
Формулы площади треугольника
Произвольный треугольник
a, b, c - стороны; - угол между сторонамиa и b ;- полупериметр;R - радиус описанной окружности; r - радиус вписанной окружности; S - площадь; h a - высота, проведенная к стороне a .
Стандартные обозначения
Треугольник с вершинами A , B и C обозначается как (см. рис.). Треугольник имеет три стороны:
Длины сторон треугольника обозначаются строчными латинскими буквами (a, b, c):
Треугольник имеет следующие углы:
Величины углов при соответствующих вершинах традиционно обозначаются греческими буквами (α, β, γ).
Признаки равенства треугольников
Треугольник на евклидовой плоскости однозначно (с точностью до конгруэнтности) можно определить по следующим тройкам основных элементов:
- a, b, γ (равенство по двум сторонам и углу лежащему между ними);
- a, β, γ (равенство по стороне и двум прилежащим углам);
- a, b, c (равенство по трём сторонам).
Признаки равенства прямоугольных треугольников:
- по катету и гипотенузе;
- по двум катетам;
- по катету и острому углу;
- по гипотенузе и острому углу.
Некоторые точки в треугольнике - «парные». Например, существует две точки, из которых все стороны видны либо под углом в 60°, либо под углом в 120°. Они называются точками Торричелли . Также существует две точки, проекции которых на стороны лежат в вершинах правильного треугольника. Это - точки Аполлония . Точки и такие, что и называются точками Брокара .
Прямые
В любом треугольнике центр тяжести, ортоцентр и центр описанной окружности лежат на одной прямой, называемой прямой Эйлера .
Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку Лемуана, называется осью Брокара . На ней лежат точки Аполлония. Также на одной прямой лежат точки Торричелли и точка Лемуана. Основания внешних биссектрис углов треугольника лежат на одной прямой, называемой осью внешних биссектрис . На одной прямой лежат также точки пересечения прямых, содержащих стороны ортотреугольника, с прямыми, содержащими стороны треугольника. Эта прямая называется ортоцентрической осью , она перпендикулярна прямой Эйлера.
Если на описанной окружности треугольника взять точку, то её проекции на стороны треугольника будут лежать на одной прямой, называемой прямой Симсона данной точки. Прямые Симсона диаметрально противоположных точек перпендикулярны.
Треугольники
- Треугольник с вершинами в основаниях чевиан, проведённых через данную точку, называется чевианным треугольником этой точки.
- Треугольник с вершинами в проекциях данной точки на стороны называется подерным или педальным треугольником этой точки.
- Треугольник в вершинами во вторых точках пересечения прямых, проведённых через вершины и данную точку, с описанной окружностью, называют окружностно-чевианным треугольником . Окружностно-чевианный треугольник подобен подерному.
Окружности
- Вписанная окружность - окружность , касающаяся всех трёх сторон треугольника. Она единственна. Центр вписанной окружности называется инцентром .
- Описанная окружность - окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Описанная окружность также единственна.
- Вневписанная окружность - окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух других сторон. Таких окружностей в треугольнике три. Их радикальный центр - центр вписанной окружности срединного треугольника, называемый точкой Шпикера .
Середины трёх сторон треугольника, основания трёх его высот и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек или окружностью Эйлера . Центр окружности девяти точек лежит на прямой Эйлера. Окружность девяти точек касается вписанной окружности и трёх вневписанных. Точка касания вписанной окружности и окружности девяти точек называется точкой Фейербаха . Если от каждой вершины отложить наружу треугольника на прямых, содержащих стороны, ортезки, равные по длине противоположным сторонам, то получившиеся шесть точек лежат на одной окружности - окружности Конвея . В любой треугольник можно вписать три окружности таким образом, что каждая из них касается двух сторон треугольника и двух других окружностей. Такие окружности называются окружностями Мальфатти . Центры описанных окружностей шести треугольников, на которые треугольник разбивается медианами, лежат на одной окружности, которая называется окружностью Ламуна .
В треугольнике есть три окружности, которые касаются двух сторон треугольника и описанной окружности. Такие окружности называют полувписанными или окружностями Веррьера . Отрезки, соединяющие точки касания окружностей Веррьера с описанной окружностью, пересекаются в одной точке, называемой точкой Веррьера . Она служит центром гомотетии , которая переводит описанную окружность во вписанную. Точки касания окружностей Веррьера со сторонами лежат на прямой, которая проходит через центр вписанной окружности.
Отрезки, соединяющие точки касания вписанной окружности с вершинами, пересекаются в одной точке, называемой точкой Жергонна , а отрезки, соединяющие вершины с точками касания вневписанных окружностей - в точке Нагеля .
Эллипсы, параболы и гиперболы
Вписанная коника (эллипс) и её перспектор
В треугольник можно вписать бесконечно много коник (эллипсов , парабол или гипербол). Если в треугольник вписать произвольную конику и соединить точки касания с противоположными вершинами, то получившиеся прямые пересекутся в одной точке, называемой перспектором коники. Для любой точки плоскости, не лежащей на стороне или на её продолжении существует вписанная коника с перспектором в этой точке.
Описанный эллипс Штейнера и чевианы, проходящие через его фокусы
В треугольник можно вписать эллипс, который касается сторон в серединах. Такой эллипс называется вписанным эллипсом Штейнера (его перспектором будет центроид треугольника). Описанный эллипс, который касается прямых, проходящих через вершины параллельно сторонам, называется описанным эллипсом Штейнера . Если аффинным преобразованием («перекосом») перевести треугольник в правильный, то его вписанный и описанный эллипс Штейнера перейдут во вписанную и описанную окружности. Чевианы, проведённые через фокусы описанного эллипса Штейнера (точки Скутина), равны (теорема Скутина). Изо всех описанных эллипсов описанный эллипс Штейнера имеет наименьшую площадь, а изо всех вписанных наибольшую площадь имеет вписанный эллипс Штейнера.
Эллипс Брокара и его перспектор - точка Лемуана
Эллипс с фокусами в точках Брокара называется эллипсом Брокара . Его перспектором служит точка Лемуана.
Свойства вписанной параболы
Парабола Киперта
Перспекторы вписанных парабол лежат на описанном эллипсе Штейнера. Фокус вписанной параболы лежит на описанной окружности, а директриса проходит через ортоцентр. Парабола, вписанная в треугольник, имеющая директрисой прямую Эйлера, называется параболой Киперта . Её перспектор - четвёртая точка пересечения описанной окружности и описанного эллипса Штейнера, называемая точкой Штейнера .
Гипербола Киперта
Если описанная гипербола проходит через точку пересечения высот, то она равносторонняя (то есть её асимптоты перпендикулярны). Точка пересечения асимптот равносторонней гиперболы лежит на окружности девяти точек.
Преобразования
Если прямые, проходящие через вершины и некоторую точку, не лежащую на сторонах и их продолжениях, отразить относительно соответствующих биссектрис, то их образы также пересекутся в одной точке, которая называется изогонально сопряжённой исходной (если точка лежала на описанной окружности, то получившиеся прямые будут параллельны). Изогонально сопряжёнными являются многие пары замечательных точек : центр описанной окружности и ортоцентр, центроид и точка Лемуана, точки Брокара. Точки Аполлония изогонально сопряжены точкам Торричелли, а центр вписанной окружности изогонально сопряжён сам себе. Под действием изогонального сопряжения прямые переходят в описанные коники, а описанные коники - в прямые. Так, изогонально сопряжены гипербола Киперта и ось Брокара, гипербола Енжабека и прямая Эйлера, гипербола Фейербаха и линия центров вписанной о описанной окружностей. Описанные окружности подерных треугольников изогонально сопряжённых точек совпадают. Фокусы вписанных эллипсов изогонально сопряжены.
Если вместо симметричной чевианы брать чевиану, основание которой удалено от середины стороны так же, как и основание исходной, то такие чевианы также пересекутся в одной точке. Получившееся преобразование называется изотомическим сопряжением . Оно также переводит прямые в описанные коники. Изотомически сопряжены точки Жергонна и Нагеля. При аффинных преобразованиях изотомически сопряжённые точки переходят в изотомически сопряжённые. При изотомическом сопряжении в бесконечно удалённую прямую перейдёт описанный эллипс Штейнера.
Если в сегменты, отсекаемые сторонами треугольника от описанного круга, вписать окружности, касающиеся сторон в основаниях чевиан, проведённых через некоторую точку, а затем соединить точки касания этих окружностей с описанной окружностью с противоположными вершинами, то такие прямые пересекутся в одной точке. Преобразование плоскости, сопоставляющее исходной точке получившуюся, называется изоциркулярным преобразованием . Композиция изогонального и изотомического сопряжений является композицией изоциркулярного преобразования с самим собой. Эта композиция - проективное преобразование , которое стороны треугольника оставляет на месте, а ось внешних биссектрис переводит в бесконечно удалённую прямую.
Если продолжить стороны чевианного треугольника некоторой точки и взять их точки пересечения с соответствующими сторонами, то полученные точки пересечения будут лежать на одной прямой, называемой трилинейной полярой исходной точки. Ортоцентрическая ось - трилинейная поляра ортоцентра; трилинейной полярой центра вписанной окружности служит ось внешних биссектрис. Трилинейные поляры точек, лежищих на описанной конике, пересекаются в одной точке (для описанной окружности это точка Лемуана, для описанного эллипса Штейнера - центроид). Композиция изогонального (или изотомического) сопряжения и трилинейной поляры является преобразованием двойственности (если точка, изогонально (изотомически) сопряжённая точке , лежит на трилинейной поляре точки , то трилинейная поляра точки, изогонально (изотомически) сопряжённой точке лежит на трилинейной поляре точки ).
Кубики
Соотношения в треугольнике
Примечание: в данном разделе , , - это длины трёх сторон треугольника, и , , - это углы, лежащие соответственно напротив этих трёх сторон (противолежащие углы).
Неравенство треугольника
В невырожденном треугольнике сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны, в вырожденном - равна. Иначе говоря, длины сторон треугольника связаны следующими неравенствами:
Неравенство треугольника является одной из аксиом метрики .
Теорема о сумме углов треугольника
Теорема синусов
,где R - радиус окружности, описанной вокруг треугольника. Из теоремы следует, что если a < b < c, то α < β < γ.
Теорема косинусов
Теорема тангенсов
Прочие соотношения
Метрические соотношения в треугольнике приведены для :
Решение треугольников
Вычисление неизвестных сторон и углов треугольника, исходя из известных, исторически получило название «решения треугольников» . При этом используются приведенные выше общие тригонометрические теоремы.
Площадь треугольника
Частные случаи ОбозначенияДля площади справедливы неравенства:
Вычисление площади треугольника в пространстве с помощью векторов
Пусть вершины треугольника находятся в точках , , .
Введём вектор площади . Длина этого вектора равна площади треугольника, а направлен он по нормали к плоскости треугольника:
Положим , где , , - проекции треугольника на координатные плоскости. При этом
и аналогично
Площадь треугольника равна .
Альтернативой служит вычисление длин сторон (по теореме Пифагора) и далее по формуле Герона .
Теоремы о треугольниках
Теорема Дезарга : если два треугольника перспективны (прямые, проходящие через соответственные вершины треугольников, пересекаются в одной точке), то их соответственные стороны пересекаются на одной прямой.
Теорема Сонда́ : если два треугольника перспективны и ортологичны (перпендикуляры, опущенные из вершин одного треугольника на стороны, противоположные соответственным вершинам треугольника, и наоборот), то оба центра ортологии (точки пересечения этих перпендикуляров) и центр перспективы лежат на одной прямой, перпендикулярной оси перспективы (прямой из теоремы Дезарга).
Деление треугольников на остроугольные, прямоугольные и тупоугольные. Классификация по соотношению сторон делит треугольники на разносторонние, равносторонние и равнобедренные. Причем каждый треугольник одновременно принадлежит к двум . Например, он может быть прямоугольным и разносторонним одновременно.
Определяя вид по типу углов, очень внимательны. Тупоугольным будет называться такой треугольник, у которого один из углов является , то есть составляет боле 90 градусов. Прямоугольный треугольник может быть вычислен по наличию одного прямого (равного 90 градусам) угла. Однако чтобы классифицировать треугольник как остроугольный, вам нужно будет убедиться, что все три его угла острыми.
Определяя вид треугольника по соотношению сторон, для начала вам придется узнать длины всех трех сторон. Однако если по условию длины сторон вам не даны, помочь вам смогут углы. Разносторонним будет являться треугольник, все три стороны которого имеют разную длину. Если длины сторон неизвестны, то треугольник может быть классифицирован как разносторонний в случае, если все три его угла являются разными. Разносторонний треугольник может быть тупоугольным, прямоугольным и остроугольным.
Равнобедренным будет являться треугольник, две из трех сторон которого равны между собой. Если длины сторон вам не даны, ориентируйтесь по двум равным между собой углам. Равнобедренный треугольник, как и разносторонний, может быть и тупоугольным, и прямоугольным и остроугольным.
Равносторонним может быть только такой треугольник, все три стороны которого имеют одинаковую длину. Все его углы также равны между собой, и каждый из них равен 60-ти градусам. Отсюда ясно, что равносторонние треугольники всегда являются остроугольными.
Совет 2: Как определить тупоугольный и остроугольный треугольник
Простейший из многоугольников – это треугольник. Он образуется при помощи трех точек, лежащих в одной плоскости, но не лежащих на одной прямой, попарно соединенных отрезками. Тем не менее, треугольники бывают разных типов, а значит, обладают разными свойствами.
Инструкция
Принято выделять три типа : тупоугольные, остроугольные и прямоугольные. Это по типу углов. Тупоугольным называется треугольник, у которого один из углов является тупым. Тупым называется угол, имеющий величину больше девяноста градусов, но меньше ста восьмидесяти. Например, в треугольнике ABC угол ABC равен 65°, угол BCA равен 95°, угол CAB равен 20°. Углы ABC и CAB меньше 90°, но угол BCA больше, значит, треугольник тупоугольный.
Остроугольным называется треугольник, у которого все углы являются острыми. Острым называется угол, имеющий величину меньше девяноста и больше нуля градусов. Например, в треугольнике ABC угол ABC равен 60°, угол BCA равен 70°, угол CAB равен 50°. Все три угла меньше 90°, значит треугольник . Если вам известно, что у треугольника все стороны равны, это значит, что все углы у него тоже равны между собой, при этом равны шестидесяти градусам. Соответственно, все углы в таком треугольнике меньше девяноста градусов, а следовательно такой треугольник является остроугольным.
Если в треугольнике один из углов равен девяноста градусам, это значит, что он не относится ни широкоугольному типу, ни к остроугольному. Это прямоугольный треугольник.
Если вид треугольника определять по соотношению сторон, они будут равносторонние, разносторонние и равнобедренные. В равностороннем треугольнике все стороны равны, а это, как вы выяснили, говорит о том, что треугольник остроугольный. Если у треугольника равны только две стороны или стороны не равны между собой, он может быть и тупоугольным, и прямоугольным, и остроугольным. Значит, в этих случаях необходимо вычислить или измерить углы и делать умозаключения, согласно пунктам 1, 2 или 3.
Видео по теме
Источники:
- тупоугольный треугольник
Равенство двух или более треугольников соответствует случаю, когда все стороны и углы данных треугольников равны. Однако существует ряд более простых критериев для доказательства данного равенства.
Вам понадобится
- Учебник по геометрии, лист бумаги, простой карандаш, транспортир, линейка.
Инструкция
Откройте учебник по геометрии седьмого класса на параграфе о признаках равенства треугольников. Вы увидите, что существует ряд основных признаков, доказывающих равенство двух треугольников. Если два треугольника, равенство которых проверяется, являются произвольными, то для них существует три основных признака равенства. Если же известна какая-то дополнительная информация о треугольниках, то основные три признака дополняются еще несколькими. Это относится, например, к случаю равенства прямоугольных треугольников.
Прочитайте первое правило о равенстве треугольников. Как известно, оно позволяет считать треугольники равными, если можно доказать, что какой-либо один угол и две прилегающие к нему стороны двух треугольников равны. Для того чтобы понять, данный закон, начертите на листе бумаги с помощью транспортира два одинаковых определенных угла, образованных двумя лучами, исходящими из одной точки. Отмерьте линейкой одинаковые стороны от вершины нарисованного угла в обоих случаях. Используя транспортир, измерьте величины полученных углов двух образованных треугольников, убедитесь, что они равны.
Для того чтобы не прибегать к таким практическим мерам для понимания признака равенства треугольников, прочитайте доказательство первого признака равенства. Дело в том, что каждое правило о равенстве треугольников имеет строгое теоретическое доказательство, просто его не удобно использовать в целях запоминания правил.
Прочитайте второй признак равенства треугольников. Он гласит, что два треугольника будут равны в том случае, если какая-либо одна сторона и два прилегающие к ней угла двух таких треугольников равны. Для того чтобы запомнить данное правило, представьте нарисованную сторону треугольника и два прилежащих к ней угла. Представьте, что длины сторон углов постепенно увеличиваются. В конце концов, они пересекутся, образуя третий угол. В данной мысленной задаче важным является то, что точка пересечения сторон, которые мысленно увеличиваются, а также полученный угол однозначно определяются третьей стороной и двумя прилегающими к ней углами.
Если вам не дана никакая информация об углах исследуемых треугольников, то используйте третий признак равенства треугольников. По данному правилу, два треугольника считаются равными, если все три стороны одно из них равны соответствующим трем сторонам другого. Таким образом, данное правило говорит о том, что длины сторон треугольника однозначно определяют все углы треугольника, а значит, они однозначно определяют и сам треугольник.
Видео по теме
